Решить уравнение: [latex] 6ctg{x} + 12 + tg^2{x} = 2 - 6tg{x} - ctg^2{x} [/latex] ; *** ответ не должен содержать в явном виде обратных функций: [latex] arcsin(), arccos(), arctg() [/latex] или [latex] arcctg() . [/latex]

Переносим всё в одну часть и немного шаманим: [latex]\mathop{\mathrm{tg}}^2x+6\mathop{\mathrm{tg}}x+6\mathop{\mathrm{ctg}}x+\mathop{\mathrm{ctg}}^2x+10=0\\ (\mathop{\mathrm{tg}}^2x+2+\mathop{\mathrm{ctg}}^2x)+6(\mathop{\mathrm{tg}}x+\mathop{\mathrm{ctg}}x)+8=0\\ (\mathop{\mathrm{tg}}x+\mathop{\mathrm{ctg}}x)^2+6(\mathop{\mathrm{tg}}x+\mathop{\mathrm{ctg}}x)+8=0[/latex] Полученное уравнение - квадратное относительно tg x + ctg x = t: [latex]t^2+6t+8=0[/latex] Решение - t = -2 или t = -4. Разбираем случаи. 1. t = -2. tg x + ctg x = -2 tg x + 1/tg x = -2 tg^2 x + 2 tg x + 1 = 0 tg x = -1 x = -π/4 + πk, k ∈ Z 2. t = -4 tg x + ctg x = -4 tg x + 1/tg x = -4 tg^2 x + 4 tg x + 1 = 0 tg x = -2 +- √3 -- скорее всего, вы не знаете, чему равен арктангенс. Поэтому посчитаем по-другому.... sin x / cos x + cos x / sin x = (sin^2 x + cos^2 x) / sin x cos x = 2 / sin 2x 2 / sin 2x = -4 sin 2x = -1/2 2x = (-1)^(n + 1) * π/6 + πn, n ∈ Z x = (-1)^(n + 1) * π/12 + πn/2, n ∈ Z Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что посторонних корней не появилось, так что ответ - две строчки, выделенные полужирным начертанием.