Решить уравнение: [latex] \sqrt{2} \cdot ( 1 + \cos{x} + \sin{x} ) + 1 = \sqrt{3} \cdot \sin{x} - \cos{x} [/latex] ; *** ответ не должен содержать в явном виде обратных функций: [latex] arcsin(), arccos(), arctg() [/latex] или ...
Решить уравнение:
[latex] \sqrt{2} \cdot ( 1 + \cos{x} + \sin{x} ) + 1 = \sqrt{3} \cdot \sin{x} - \cos{x} [/latex] ;
*** ответ не должен содержать в явном виде обратных функций:
[latex] arcsin(), arccos(), arctg() [/latex] или [latex] arcctg() . [/latex]
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость[latex]\sqrt{2}(1+cosx+sinx)+1=\sqrt{3}sinx-cosx [/latex]
[latex]\sqrt{2}+\sqrt{2}cosx+\sqrt{2}sinx+1=\sqrt{3}sinx-cosx[/latex]
Делим все на 2
[latex]\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx+\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx[/latex]
Преобразовываем
[latex]\frac{\sqrt{2}}{2}+sin(\frac{\pi}{4})cosx+sin(\frac{\pi}{4})sinx+\frac{1}{2}=cos(\frac{\pi}{6})sinx-sin(\frac{\pi}{6})cosx[/latex]
[latex]sin(\frac{\pi}{4})+sin(\frac{\pi}{4}+x)+sin(\frac{\pi}{6})=sin(x-\frac{\pi}{6})[/latex]
Группируем
[latex]sin(\frac{\pi}{4}+x)- sin(x-\frac{\pi}{6})= -sin(\frac{\pi}{4})- sin(\frac{\pi}{6})[/latex]
[latex]cos(\frac{\frac{\pi}{4}+x+x-\frac{\pi}{6}}{2})sin(\frac{\frac{\pi}{4}+x-x+\frac{\pi}{6}}{2})= -(sin(\frac{\pi}{4})+ sin(\frac{\pi}{6}))[/latex]
[latex]cos(x+\frac{\pi}{24})sin(\frac{5\pi}{24})= -sin(\frac{\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}}{2})cos\frac{\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}}{2}[/latex]
[latex]cos(x+\frac{\pi}{24})sin(\frac{5\pi}{24})= -sin(\frac{5\pi}{24})cos\frac{\pi}{24}[/latex]
[latex]cos(x+\frac{\pi}{24})= -cos\frac{\pi}{24}[/latex]
[latex]cos(x+\frac{\pi}{24})+cos\frac{\pi}{24}=0[/latex]
[latex]2cos( \frac{x+\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{24}}{2})cos(\frac{x+\frac{\pi}{24}-\frac{\pi}{24}}{2})=0[/latex]
[latex]2cos( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{24})cos(\frac{x}{2}})=0[/latex]
[latex]cos( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{24})cos(\frac{x}{2}})=0[/latex]
Получили два уравнения
[latex]cos( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{24})=0[/latex] и [latex]cos(\frac{x}{2}})=0[/latex]
Из первого уравнения
[latex] \frac{x}{2}+\frac{\pi}{24}=\frac{\pi}{2}+ \pi*n[/latex]
[latex] \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{24}+ \pi*n[/latex]
[latex]\frac{x}{2}=\frac{11\pi}{24}+ \pi*n[/latex]
[latex]x=\frac{11\pi}{12}+ 2\pi*n[/latex]
Из второго уравнения
[latex]\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+ \pi*n[/latex]
[latex]x=\pi+ 2\pi*n[/latex]
Не нашли ответ?
Похожие вопросы