Решить уравнение [latex][tg x]* \sqrt{3-tg^2x} =tgx[/latex] P.S. - [] - не модуль. Тема: целые числа части

[latex][tg x]\cdot \sqrt{3-tg^2x} =tg x[/latex] Область допустимих значений уравнения определяем по условию: [latex]- \sqrt{3} \leq tg x \leq \sqrt{3}[/latex]. Поэтому [tg x] может имееть значение только при  -1; 0; 1. Итак, имеем 4 систем уравнений [latex] \left \{ {{[tgx]=-2} \atop { \sqrt{3-tg^2x}=- \frac{1}{2}tg x, }} \right. [/latex] или [latex] \left \{ {{\sqrt{3-tg^2x}=-tg x} \atop {[tgx]=-1}} \right. [/latex] или [latex] \left \{ {{[tg x]=0} \atop {tg x=0}} \right. [/latex]                или [latex] \left \{ {{[tg x]=1} \atop {\sqrt{3-tg^2x}=tg x}} \right. [/latex] Упростим и получим такие уравнения [latex] \left \{ {{-\sqrt{3} \leq tg x< -1} \atop {tg x=- \sqrt{ \frac{12}{5} } }} \right. [/latex] или [latex] \left \{ {{-1 \leq tg x< 0} \atop {tg x=-\sqrt{ \frac{3}{2} } }} \right. [/latex] или [latex]tg x=0[/latex]                       или [latex] \left \{ {{1 \leq tg x<\sqrt{3}} \atop {tg x=\sqrt{ \frac{3}{2} } }} \right. [/latex] Подробное решение каждой системы: [latex] \left \{ {{-\sqrt{3} \leq tg x<1} \atop {sqrt{3-tg^2x}= -\frac{1}{2}tgx }} \right. [/latex] Возведем оба части до квадрата [latex] \sqrt{3-tg^2x} =( \frac{1}{2} tg x)^2 \\ 3-tg^2x= \frac{1}{4} tg^2x|\cdot 4 \\ 12-4tg^2x=tg^2x \\ tg^2x= \frac{12}{5} \\ tg x=\pm \sqrt{\frac{12}{5} } [/latex] Корнем этого уравнени будет только [latex]-\sqrt{\frac{12}{5} } [/latex], а корень [latex]x=\sqrt{\frac{12}{5} } [/latex] не пренадлежит промежутку [-√3;-1) [latex] \left \{ {{-1 \leq tg x<0} \atop { \sqrt{3-tg^2x} =-tg x}} \right. [/latex] Возведем оба части до квадрата [latex]3-tg^2x=tg^2x \\ tg x=\pm \sqrt{ \frac{3}{2} } [/latex] [latex]\pm\sqrt{\frac{3}{2}} [/latex] ∉ [-1;0) [latex]tg x=0 \\ x=\pi n,n \in Z[/latex] [latex] \left \{ {{1 \leq tg x<\sqrt{3}} \atop { \sqrt{3-tg^2x} =tg x}} \right. [/latex] Возведем оба части до квадрата [latex](\sqrt{3-tg^2x})^2=tg^2x \\ 3-tg^2x=tg^2x \\ tg x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}} [/latex] решением этого уравнения будет корень [latex]x =\sqrt{\frac{3}{2}} [/latex] Корни уравнения [latex]x_1=-arctg\sqrt{ \frac{12}{5} } +\pi n.n \in Z \\ x_2=\pi k, k \in Z \\ x_3=arctg\sqrt{ \frac{3}{2} } +\pi m.m \in Z[/latex]

Смотреть во вложении