Решить уравнение: sin2x+2ctgx=3

[latex]\sin2x+2ctg x=3\\ 2\sin x\cos x+2\cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}=3 \\ \\ 2\sin x\cdot \bigg| \sqrt{1-\sin^2x}\, \bigg|+2\cdot \dfrac{\bigg| \sqrt{1-\sin^2x}\,\bigg| }{\sin x} =3[/latex] Пусть [latex]\sin x =t[/latex], тогда получаем: [latex]2t\bigg| \sqrt{1-t^2} \,\bigg|+2\cdot \dfrac{\bigg| \sqrt{1-t^2} \,\bigg|}{t} =3[/latex] ОДЗ: [latex]1-t^2 \ \textgreater \ 0;\,\,\,\, and\,\,\,\,\,\, t\ne 0[/latex] [latex]2t \sqrt{1-t^2} +2\cdot \dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t} =3 |\cdot t\\ \\ 2t^2 \sqrt{1-t^2} +2 \sqrt{1-t^2} =3t\\ \\ 2 \sqrt{1-t^2} (t^2+1)=3t[/latex] Возведем обе части в квадрат [latex]4(1-t^2)(t^2+1)^2=9t^2[/latex] Пусть [latex]t^2=a[/latex], причем [latex]a \geq 0[/latex] [latex]-4(a-1)(a+1)^2-9a=0\\ -4a^3-4a^2+4a+4-9a=0\\ 4a^3+4a^2+5a-4=0[/latex] Добавим и вычтем некоторые слагаемые: [latex]4a^3-2a^2+6a^2-3a+8a-4=0\\ 2a^2(2a-1)+3a(2a-1)+4(2a-1)=0\\ (2a-1)(2a^2+3a+4)=0[/latex] Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: [latex]2a-1=0\\ a=\dfrac{1}{2}[/latex] [latex]2a^2+3a+4=0[/latex] Вычислим дискриминант квадратного уравнения: [latex]D=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot 4 \ \textless \ 0[/latex] [latex]D\ \textless \ 0[/latex], значит квадратное уравнение действительных корней не имеет. Обратная замена [latex]t^2=\dfrac{1}{2}\\ \\ t=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}[/latex] Корень [latex]x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}[/latex] - лишний [latex]x= \dfrac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}[/latex]