Решить задачу: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна [latex]3 \sqrt{5} [/latex]м.Определить катеты, если известно, что после того, как один из них увеличить на [latex]133 \frac{1}{3} [/latex]%, а другой на [latex]16 \fra...

Пусть изначально был прямоугольный треугольник с катетами [latex]a[/latex], [latex]b[/latex] и гипотенузой [latex]3 \sqrt{5} [/latex].Тогда для этого треугольника справедлива теорема Пифагора: [latex] a^{2} + b^{2} =45[/latex].Далее,после того как катеты увеличили, получили, что их сумма - 14: [latex]a+ (\frac{400}{3} a)/100+b+ (\frac{50}{3} b)/100=14.[/latex]Преобразуем это выражение: [latex]a+ \frac{4}{3} a+b+ \frac{1}{6} b=14, 14a+7b=84, 2a+b=12.[/latex].Вместе с предыдущим равенством,получаем систему: [latex] \left \{ {{2a+b=12}, \atop { a^{2}+ b^{2} =45 }} \right. ; \left \{ {{b=12-2a}, \atop {a^{2}+ (12-2a)^{2}=45 }} \right. ; \left \{ {{b=12-2a} \atop {5 a^{2}-48a+99=0 }} \right. ; \left \{ {{a=3} \atop {b=6}} \right.[/latex] (Второй корень не подходит, так как тогда b<0).Непосредственной проверкой можно убедиться,что данная пара чисел подходит. Ответ: (3;6).