Решите два несложных уравнения: а) |2х+1|=|х+2| и б) |х²-2х-1|-х+1=0

[latex]|2x+1|=|x+2|[/latex] ----------------------------------- [latex]|2x+1|-|x+2|=0[/latex] умножим уравнение на выражение: [latex]|2x+1|+|x+2|[/latex] и получим уравнение: [latex](|2x+1|-|x+2|)*(|2x+1|+|x+2|)=0[/latex] данное уравнение является эквивалентным исходному, т.е. множество корней исходного уравнения совпадает с множеством коней полученного, так как исходное уравнение было умножено на всегда положительное выражение, т.е. на [latex]|2x+1|-|x+2|\ \textgreater \ 0[/latex] (подмодульные выражения [latex]2x+1[/latex] и [latex]x+2[/latex] принимают значение [latex]0[/latex] при различных значениях [latex]x[/latex], по этому сумма указанных выше двух модулей всегда строго положительна) итак наше новое уравнение упрощается за формулой сокращенного умножения [latex](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/latex]: [latex](|2x+1|)^2-(|x+2|)^2=0[/latex] [latex](2x+1)^2-(x+2)^2=0[/latex] [latex][(2x+1)-(x+2)]*[(2x+1)+(x+2)]=0[/latex] [latex][x-1]*[3x+3]=0[/latex] [latex](x-1)(x+1)=0[/latex] [latex]x=\pm1[/latex] Ответ: [latex]\pm1[/latex] ---------------------------------------- [latex]|x^2-2x+1|-x+1=0[/latex] ----------------------------------- [latex]|(x-1)^2|-x+1=0[/latex] [latex](x-1)^2-(x-1)=0[/latex] [latex](x-1)*(x-1)-(x-1)*(1)=0[/latex] [latex](x-1)*[(x-1)-(1)]=0[/latex] [latex](x-1)(x-2)=0[/latex] Ответ: [latex]1;2[/latex] ------------------------------------------- [latex]|x^2-2x-1|-x+1=0[/latex] -------------------------- разложим на множители выражение [latex]x^2-2x-1[/latex] [latex]D=2^2-4*1*(-1)=4+4=8=(2 \sqrt{2} )^2[/latex] нули этого многочлена: [latex]x_{1,2}= \frac{2\pm2 \sqrt{2} }{2}=1\pm \sqrt{2} [/latex] имеем: [latex]|[x-(1- \sqrt{2} )]*[x-(1+ \sqrt{2} )]|-x+1=0[/latex] [latex]|x-(1- \sqrt{2})|*|x-(1+ \sqrt{2} )|-x+1=0[/latex] точки [latex]1\pm \sqrt{2} [/latex] разбивают множество действительных чисел на три интервала: 1) если [latex]x\in(-\infty;1- \sqrt{2}] [/latex], то имеем уравнение (оба модуля раскрываются с минусом): [latex](-1)*(x-(1- \sqrt{2}))*(-1)*(x-(1+ \sqrt{2} ))-x+1=0[/latex] [latex](x-(1- \sqrt{2}))*(x-(1+ \sqrt{2} ))-x+1=0[/latex] [latex](x^2-2x-1)-x+1=0[/latex] [latex]x^2-3x=0[/latex] [latex]x(x-3)=0[/latex] [latex]x=0,or,x=3[/latex] оба корня не попали в интервал [latex](-\infty;1- \sqrt{2}] [/latex], значит из этой ветки корней для исходного уравнения не оказалось 2) если [latex]x\in(1- \sqrt{2};1+ \sqrt{2} ] [/latex] (один модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом), то: [latex](x-(1- \sqrt{2}))*(-1)*(x-(1+ \sqrt{2} ))-x+1=0[/latex] [latex]-(x^2-2x-1)-x+1=0[/latex] [latex]x^2-2x-1+x-1=0[/latex] [latex]x^2-x-2=0[/latex] [latex]x^2+x-2x-2=0[/latex] [latex]x(x+1)-2(x+1)=0[/latex] [latex](x+1)(x-2)=0[/latex] [latex]x=-1,or,x=2[/latex] в промежуток [latex](1- \sqrt{2};1+ \sqrt{2} ] [/latex] попадает лишь корень [latex]2[/latex] - первое найденное решение исходного уравнения 3) если [latex]x\in(1+ \sqrt{2};+\infty)[/latex] то оба модуля раскрываются с плюсом, и мы получаем точно такое же уравнение, как и в случае 1) т.е. [latex]x=0,or,x=3[/latex]. В указанный интервал попадает лишь корень [latex]3[/latex] - второе и последнее решение исходного уравнения. Ответ: [latex]2;3[/latex]