Решите неравентсво [latex] x^4-x^3-4x^2-x+1\ \textgreater \ 0 [/latex]

[latex]x^4-x^3-4x^2-x+1\ \textgreater \ 0[/latex] Для начала решим уравнение: [latex]x^4-x^3-4x^2-x+1=0[/latex] Решим методом неопределенных коэффициентов. Зная, что любой многочлен четвертой степени можно разложить на два квадратных многочлена, применим схему: [latex](x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=\\x^4+ax^3+cx^3+acx^2+bx^2+dx^2+bcx+adx+bd=\\ x^4+x^3(a+c)+x^2(ac+b+d)+x(ad+bc)+bd[/latex] Составим систему уравнений: [latex]\left\{\begin{matrix} a &+ &c &= &-1 & & \\ ac &+ &b &+ &d &= &-4 \\ ad &+ &bc &= &-1 & & \\ bd &= &1 & & & & \end{matrix}\right.[/latex] Подберем к четвертому уравнению пару, удовлетворяющую нашей системе: [latex]\left\{\begin{matrix} b &= &1 \\ d &= &1 \end{matrix}\right.\ \ \left\{\begin{matrix} b &= &-1 \\ d &= &-1 \end{matrix}\right.[/latex] Нам подошла система первой пары. Подставляем и решаем уравнение: [latex]a=-1-c[/latex] [latex]c(-1-c)+1+1=-4\\ -c-c^2+2=-4\\ -c^2-c+6=0\ |:(-1)\\ c^2+c-6=0\\ D=1+24=25; \sqrt{D} =5\\\\ c_{1/2}= \frac{-1\pm5}{2} \\ c_1=-3\\ c_2=2[/latex] Возьмем любое значение с и выполним проверку: [latex]ad+bc=-1\\ 2\cdot(-3)+1+1=-4\\ -6+2=-4\\ -4=-4[/latex] Итог: [latex]a=-3\\ b=1\\ c=2\\ d=1[/latex] Возвращаемся к нашей схеме. Подставим все найденные элементы: [latex](x^2-3x+1)(x^2+2x+1)=0\\\\ x^2-3x+1=0\\ D=9-4=5; \ \sqrt{D} =\sqrt{5}\\\\ x_{1/2}= \frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \\\\\\ (x+1)^2=0\\ x+1=0\\ x=-1[/latex] __+__-1__+__[latex] \frac{3-\sqrt5}{2} [/latex]__-__[latex] \frac{3+\sqrt5}{2} [/latex]__+__ Ответ: [latex]x\in (-\infty; -1)\bigcup(-1; \frac{3-\sqrt5}{2})\bigcup( \frac{3+\sqrt5}{2}; +\infty) [/latex]

[latex] x^4 - x^3 - 4x^2-x+1>0 \ ; [/latex] Найдём нули функции: [latex] f(x) = x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 \ ; [/latex] Для этого решим уравнение: [latex] x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0 \ ; [/latex] По теореме Безу о модулях рациональных корней многочлена, которая гласит, что их числители являются делителями свободного слагаемого, а знаменатели – делителями старшего коэффициента, находим, что модуль возможного корня единственный: [latex] |x| = 1 \ ; [/latex] Проверим: [latex] x = \pm1 \ \ \ : \ \ \ f(\pm1) = (\pm1)^4 - (\pm1)^3 - 4 \cdot (\pm1)^2 \mp 1 + 1 = 1 \mp 1 - 4 \mp 1 + 1 = -2 \mp 2 \ ; [/latex] Откуда ясно, что    [latex] f(x=-1) = -2 + 2 = 0 \ ; [/latex] Итак    [latex] x=-1 \ [/latex]    – один из корней указанного уравнения. По теореме Виета исследуемый многочлен должен делиться без остатка на    [latex] (x+1) \ , [/latex]    выделим этот множитель: [latex] x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = x^3 (x+1) - 2x^3 - 4x^2 - x + 1 = \\\\ = x^3 (x+1) - 2x^2(x+1) - 2x^2 - x + 1 = \\\\ = x^3 (x+1) - 2x^2(x+1) - 2x(x+1) + x + 1 = \\\\ = (x+1) ( x^3 - 2x^2 - 2x + 1 ) \ ; [/latex] По теореме Безу о модулях рациональных корней многочлена, в применении уже к кубическому многочлену, стоящему в длинной скобке, находим, что модуль возможного корня единственный: [latex] |x| = 1 \ ; [/latex] Проверим: [latex] x = \pm1 \ \ \ : \ \ \ (\pm1)^3 - 2 \cdot (\pm1)^2 - 2 \cdot (\pm1) + 1 = \pm 1 - 2 \mp 2 + 1 = -1 \mp 1 \ ; [/latex] Откуда ясно, что    [latex] x=-1 \ [/latex]    – кратный корень, который подходит и в кубический многочлен. Итак    [latex] x=-1 \ [/latex]    – двойной корень указанного уравнения. По теореме Виета исследуемый многочлен должен дважды делиться без остатка на    [latex] (x+1) \ , [/latex]    выделим этот множитель вторично: [latex] x^3 - 2x^2 - 2x + 1 = x^2(x+1) - 3x^2 - 2x + 1 = \\\\ = x^2(x+1) - 3x(x+1) + x + 1 = (x+1) ( x^2 - 3x + 1 ) \ ; [/latex] Таким образом: [latex] x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = (x+1)^2 ( x^2 - 3x + 1 ) \ ; [/latex] И не составит никакого труда решить уравнение: [latex] (x+1)^2 ( x^2 - 3x + 1 ) = 0 \ ; [/latex] [latex] D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 \ ; [/latex] [latex] x_1 = -1 \ ; [/latex] [latex] x_{2,3} = \frac{ 3 \pm \sqrt{5} }{2} \ ; [/latex] [latex] x_{2,3} > 0 > x_1 \ ; [/latex] По теореме Виета мы можем переписать исходное неравенство, как: [latex] x^4 - x^3 - 4x^2-x+1>0 \ ; [/latex] [latex] (x+1)^2 ( x - \frac{ 3 - \sqrt{5} }{2} ) ( x - \frac{ 3 + \sqrt{5} }{2} ) > 0 \ ; [/latex] С учётом знака и степени при старшем коэффициенте – функция, очевидно, монотонно уходит на    [latex] +\infty \ ; [/latex]    при    [latex] x \to \pm \infty \ ; [/latex] При переходе через    [latex] x_1 \ [/latex]    функция не меняет знака, так как корень чётный, однако нужно понимать, что сам корень не удовлетворяет строгому неравенству. При переходе через    [latex] x_{2,3} \ [/latex]    функция меняет знак, а сами корни тоже не удовлетворяет строгому неравенству. Окончательно имеем: [latex] x \in ( -\infty ; -1 ) \cup ( -1 ; \frac{ 3 - \sqrt{5} }{2} ) \cup ( \frac{ 3 + \sqrt{5} }{2} ; +\infty) \ ; \ \Rightarrow \ f(x)>0 [/latex] – неравенство удовлетворено. [latex] x \in ( \frac{ 3 - \sqrt{5} }{2} ; \frac{ 3 + \sqrt{5} }{2} ) \ ; \ \Rightarrow \ f(x) < 0 [/latex] – неравенство НЕ удовлетворено. О т в е т :    [latex] x \in ( -\infty ; -1 ) \cup ( -1 ; \frac{ 3 - \sqrt{5} }{2} ) \cup ( \frac{ 3 + \sqrt{5} }{2} ; +\infty) \ . [/latex]