Решите пожалйуста подробно примеры (приведенные ниже на фото) Тема: "Вычисление неопределенного интеграла по частям" Формула по которой решают: интеграл udv=uv- интеграл vdu

на свой страх и риск принимай решение первого. было очень давно, смутно помню. поэтому могут быть ошибки. остальные по аналогии 1) интегрирование по частям. формула есть сверху  [latex] \int {u} \, dv= uv - \int {v} \, du [/latex] для того чтобы решить интеграл, необходимо найти все замены и подставить их в данную формулу, с чего мы и начнем: [latex] \int {(5x-1)( e^{-x}}) } dx =[/latex] [latex][u=(5x-1) ; du = (5x-1)^{'} = 5dx, [/latex][latex]dv = e^{-x}dx ; v = \int {e^{-x}} dx = - e^{-x}][/latex] теперь подставляем в формулу: [latex](5x-1)(- e^{-x})- \int { -5e^{-x} } dx = (5x-1)(- e^{-x}) + 5 \int { e^{-x}dx } =[/latex] [latex] (5x-1)(- e^{-x}) - 5 e^{-x} [/latex] дальше приводишь подобные. еще где-то потерялась константа C наверняка, т.к. интеграл неопределенный, но не помню что с ней нужно делать.

[latex]1)\int (5x-1)e^{-x}dx=[\, u=5x-1,\; du=5dx,\; dv=e^{-x}dx,\\\\v=-e^{-x}\; ]=-(5x-1)e^{-x}+\int e^{-x}\cdot 5dx=\\\\=-(5x-1)e^{-x}-5e^{-x}+C\\\\2)\; \; \int ( \frac{3}{7} x-4)e^{ \frac{1}{6}x }dx=[\; u= \frac{3}{7} x-4\; ,\; du= \frac{3}{7}dx,\; dv=e^{\frac{1}{6}x} dx,\\\\v=6e^{\frac{1}{6}x}\; ]=6( \frac{3}{7}x-4)e^{\frac{x}{6}} -6\cdot \frac{3}{7} \cdot \int e^{\frac{x}{6}}dx=\\\\=6( \frac{3}{7} x-4)e^{\frac{x}{6}}- \frac{18}{7} \cdot 6\cdot e^{\frac{x}{6}}+C[/latex] [latex]3)\; \; \int x^{-4}\cdot ln3x\, dx=[\, u=ln3x\; ,\; du= \frac{3}{3x} dx= \frac{dx}{x} \; ,\\\\dv=x^{-4}dx\; ,\; v= \frac{x^{-3}}{-3} =- \frac{1}{3x^3} \; ]=- \frac{ln3x}{3x^3} +\int \frac{dx}{3x^4} =\\\\=- \frac{ln3x}{3x^3} +\frac{1}{3}\cdot \frac{x^{-3}}{-3} +C\\\\4)\; \; \int (4-9x)\cdot ln3x\; dx=[\, u=ln3x,\; du=\frac{dx}{x}\, ,\\\\dv=(4-9x)dx\; ,\; v=-\frac{1}{9}\cdot \frac{(4-9x)^2}{2} \; ]=- \frac{1}{18} (4-9x)^2\cdot ln3x+[/latex] [latex]+\frac{1}{18}\cdot \int \frac{(4-9x)^2}{x} dx=- \frac{1}{18} (4-9x)^2\cdot ln3x+\frac{1}{18}\int \frac{16-72x+81x^2}{x} dx=[/latex] [latex]=- \frac{1}{18} (4-9x)^2\cdot ln3x+ \frac{1}{18} \int ( \frac{16}{x}-72+81x)dx=\\\\=- \frac{1}{18} (4-9x)^2\cdot ln3x+\frac{1}{18}\cdot (16ln|x|-72x+81\cdot \frac{x^2}{2} )+C[/latex] [latex]P.S.\\\\\int e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}\cdot e^{ax+b}+C\\\\\int (ax+b)^{k}dx= \frac{1}{a}\cdot \frac{(ax+b)^{k+1}}{k+1} +C[/latex]