Решите систему уравнений[latex] \left \{ {{x+y= \frac{ \pi }{3} } \atop {sinxsiny= \frac{1}{4} }} \right. [/latex]

[latex]y=\frac{\pi}{3}-x[/latex] Подставим во второе уравнение [latex]\sin x\sin(\frac{\pi}{3}-x)=\frac{1}{4}[/latex] Есть формула произведения синусов [latex]\sin a\sin b=\frac{1}{2}*(\cos(a-b)-\cos(a+b))[/latex] Подставим в эту формулу  [latex]\sin x\sin(\frac{\pi}{3}-x)=\frac{1}{2}*(\cos(x-(\frac{\pi}{3}-x))-\cos(x+\frac{\pi}{3}-x))=[/latex] [latex]=\frac{1}{2}*(\cos(2x-\frac{\pi}{3})-\cos(\frac{\pi}{3}))=\frac{1}{2}*(\cos(2x-\frac{\pi}{3})-\frac{1}{2})[/latex] Вернемся к уравнению [latex]\frac{1}{2}*(\cos(2x-\frac{\pi}{3})-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}[/latex] Умножим обе части на 4. Получим [latex]2(\cos(2x-\frac{\pi}{3})-\frac{1}{2})=1[/latex] [latex]2\cos(2x-\frac{\pi}{3})-1=1[/latex] [latex]2\cos(2x-\frac{\pi}{3})=2[/latex] [latex]\cos(2x-\frac{\pi}{3})=1[/latex] [latex]2x-\frac{\pi}{3}=2\pi*n,\quad n\in Z[/latex] [latex]2x=2\pi*n+\frac{\pi}{3},\quad n\in Z[/latex] Поделим обе части на 2. Получим [latex]x=\pi*n+\frac{\pi}{6},\quad n\in Z[/latex] [latex]y= \frac{ \pi }{3} -x[/latex] [latex]y= \frac{ \pi }{3} -(\pi*n+\frac{\pi}{6}),\quad n\in Z[/latex] [latex]y= \frac{ \pi }{6} -\pi*n,\quad n\in Z[/latex] Ответ: [latex]x=\pi*n+\frac{\pi}{6},\quad n\in Z[/latex] [latex]y= \frac{ \pi }{6} -\pi*n,\quad n\in Z[/latex]