Решите уравнение 5sin^2x-3sinxcosx=4

[latex]5\sin^2x-3\sin x\cos x=4[/latex] Основное тригонометрическое тождество: [latex]1=\sin^2 x+\cos^2x[/latex] В правой части уравнения число [latex]4[/latex] можно представить как [latex]4\cdot 1[/latex], т.е. если подставить основное тригонометрическое тождество, получим: [latex]5\sin^2 x-3\sin x\cos x=4(\sin^2 x+\cos^2x)[/latex] Раскрываем скобки и упрощаем [latex]5\sin^2 x-4\sin^2 x-3\sin x\cos x-4\cos^2 x=0\\ \sin^2 x-3\sin x\cos x-4\cos^2x=0[/latex] Разделим обе части уравнения на [latex]\cos^2 x[/latex], получим: [latex] \frac{\sin^2x}{\cos^2x} -3\cdot \frac{\sin x}{\cos x} -4=0[/latex] Очевидно, что [latex] \frac{\sin x}{\cos x} =tg x[/latex], тоесть получаем: [latex]tg^2x-3tg x-4=0[/latex] Сделаем замену Пусть [latex]tg x=t\,\,(t \in R)[/latex], получаем [latex]t^2-3t-4=0[/latex] По т. Виета: [latex]t_1=4\\ t_2=-1[/latex] Возвращаемся к замене [latex]tg x=4\\ x=arctg(4)+\pi n,n \in Z\\ \\ tg x =-1\\ x=arctg(-1)+\pi n,n \in Z\\ x=- \frac{\pi}{4}+\pi n,n \in Z [/latex]