Решите уравнение:[latex]sin^4xcos^4x = sinxcosx[/latex]

[latex]sin^{4}x*cos^{4}x-sinx*cosx=0[/latex] [latex]sinx*cosx*(sin^{3}x*cos^{3}x-1)=0[/latex] Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0: 1) [latex]sinx=0, x= \pi k[/latex] 2) [latex]cosx=0, x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k [/latex] Объединим решения 1) и 2) в одно: [latex]x= \frac{ \pi k}{2} [/latex] 3) [latex](sinx*cosx)^{3}-1=0[/latex] - формула разности кубов [latex](sinx*cosx-1)((sinx*cosx)^{2}+sinx*cosx+1)=0[/latex] [latex]sinx*cos-1=0[/latex] [latex]sinx*cosx=1[/latex] - домножим обе части на 2 [latex]2sinx*cosx=2[/latex] - синус двойного угла (слева) [latex]sin(2x)=2[/latex] - нет решений, т.к. максимальное значение синуса равно 1. 4) [latex](sinx*cosx)^{2}+sinx*cosx+1=0[/latex] Сделаем замену: [latex]sinx*cosx=t[/latex] [latex]t^{2}+t+1=0[/latex] [latex]D=1-4=-3<0[/latex] - нет корней нет решений. Значит, уравнение имеет только такое решение: [latex]x= \frac{ \pi k}{2} [/latex]