Решите в натуральных числах: x+[latex] \frac{1}{y+ \frac{1}{z} } = \frac{10}{7} [/latex]

x+1/(y+1/z)=10/7 x+1/(y+1/z) x+1/(y+1/z)=1³/₇ x+1(y+1/z)=1+3/7 x=1 1/(y+1/z)=3/7 y+1/z=7/3 y+1/z=2¹/3 y+1/z=2+1/3  ⇒ y=2   z=3 Ответ:  x=1   y=2   z=3.

[latex]x+\frac{1}{y+ \frac{1}{z} } = \frac{10}{7} \\ \frac{1}{y+ \frac{1}{z} } = \frac{10}{7} - x \\ \frac{1}{y+ \frac{1}{z} } = \frac{10- 7x}{7} \\ (y+ \frac{1}{z} )*(10- 7x) = 7 \\ [/latex]  (*) Видим, что  произведение двух множителей даёт число 7. Причём  первая скобка  при  любых натуральных y и z  будет всегда положительна.  Тогда и вторая скобка обязана быть положительной, поскольку результат произведения скобок -  положителен. =>   [latex]10 - 7x \ \textgreater \ 0 \\ [/latex] , где  х ∈  N. Очевидно, что  таким числом может быть только 1:    [latex]10 - 7*1 = 10 - 7 = 3 \ \textgreater \ 0 \\ [/latex] Итак,  нашли, что   х = 1. Теперь подставим это значение х в уравнение  (*). Получим: [latex](y+ \frac{1}{z} )*(10- 7*1) = 7 \\ (y+ \frac{1}{z})*3 = 7 \\ y+ \frac{1}{z} = \frac{7}{3} \\ y+ \frac{1}{z} = 2+ \frac{1}{3} \\ [/latex] =>  y=2,   z=3 Ответ:  x=1;  y=2;   z=3.