Сколько корней имеет уравнение (cos2x-cosx)/sinx=0 на промежутке  [-2п;2п] ?

сколько корней имеет уравнение (cos2x-cosx)/sinx=0 на промежутке  [-2π;2π ]  ? --------------- ОДЗ: sinx ≠ 0 . x ≠ π*n , n ∈ Z .  --- cos2x - cosx = 0  ; 2cos²x -cosx -1 =0 ; замена :   t = cosx 2t² - t  -1 =0 ;   D =1² -4*2( -1) = 1+8 =9 =3² t₁ =(1+3)/4 =1 ⇒ cosx =1 ⇔ sinx = 0  не удовлетворяет  ОДЗ . t₂ =(1-3)/4 = -1/2 ⇒ cosx = -1/2 . x = ± 2π/3 +2π*k , k∈ Z .  x₁ = 2π/3 +2π*k , k∈ Z . Из них два решения  на промежутке  [-2π;2π ] : - 4π/3  (если  k = -1 )  и  2π/3 (если  k =0 ) . * * * - 2π ≤ 2π/3 +2π*k  ≤ 2π ⇔ -1 ≤ 1/3 +k  ≤ 1 ⇔ -1 - 1/3 ≤ k  ≤ 1 -1/3 ⇒ k = -1 ; 0  * * * x₂ = -2π/3 +2π*k , k∈ Z .Из них два решения  на промежутке  [-2π;2π ] :   - 2π/3  (если  k = 0 )  и   4π/3 (если  k =1 ) . * * * - 2π ≤  -2π/3 +2π*k  ≤ 2π ⇔ -1 ≤ -1/3 +k  ≤ 1 ⇔ -1 + 1/3 ≤ k  ≤ 1 +1/3 ⇒ k =  0 ; 1  * * * ответ : 4 корней на промежутке  [-2π;2π ] . * * * * * * *  Другой способ решения : (cos2x-cosx) / sinx = 0 ⇔(системе)  {cos2x - cosx = 0 ;  sinx ≠ 0 .   * * * требование  sinx ≠ 0 определяет ОДЗ уравнения * * * * * * cosα - cosβ = - 2sin(α - β)/2*sin(α + β)/2  * * * cos2x - cosx = 0 ; -2sin(x/2)*sin(3x/2) =0.     a) x/2 =π*k , k ∈ Z ;  x =2π*k , k ∈ Z . b) 3x/2 =π*m , m ∈ Z  --- x =2π*m/3  , m ∈ Z Серия  решений  x =2π*k   входит  в   x =2π*m/3  , если m =3k  ∈ Z , т.е. общее решение уравнения  cos2x - cosx= 0  является                                x =2π*m/3, m ∈ Z . Из  них нужно исключить m=3n   x₁ =2π*(3n+1)/3 =2π/3 +2π*n  ,  n ∈ Z . x₂ =2π*(3n -1)/3 = -2π/3 +2π*n  ,  n ∈ Z .