Сколько вулканов насчитывается на планете, если в искомом числе десятков на 3 больше, чем сотен, а единиц на 4 меньше десятков, причём полусумма всех цифр числа равна цифре десятков?

Пусть в числе х единиц, у десятков, z сотен. Т.к. десятков на 3 больше, чем сотен, получим y-z=3. Т.к. единиц на 4 меньше, чем десятков, получим у-х=4. Т.к. полусумма всех цифр числа равна цифре десятков, получим 0,5(x+y+z)=y. Система уравнений: [latex]\begin{cases} y-z=3 \\y-x=4 \\ 0,5(x+y+z)=y \end{cases} <=>\begin{cases} y-z=3 \\-x+y=4 \\ x-y+z=0 \end{cases} <=>\\ \begin{cases} x=3 \\ y=7 \\ z=4 \end{cases} [/latex] Получилось число 473. Ответ: 473.

Пусть [latex]x[/latex] - число сотен, [latex]y[/latex] - десятков, [latex]z[/latex] - единиц, тогда "десятков на 3 больше, чем сотен" [latex]y=x+3[/latex] "единиц на 4 меньше десятков" [latex]z=y-4=x+3-4=x-1[/latex] "полусумма всех цифр числа равна цифре десятков" [latex]y=x+3= \frac{x+y+z}{2} \\ 2(x+3)=x+y+z \\ 2x+6=x+y+z \\ 2x-x=y+z-6 \\ x=y+z-6[/latex] Так как [latex]y=x+3[/latex], a [latex]z=x-1[/latex] [latex]x = x + 3 + x - 1 - 6 \\ x = 2x - 4 \\ x - 2x = -4 \\ -x = -4 \\ x = 4 \\ y = x + 3 = 4 + 3 = 7 \\ z = x-1 = 4 - 1 = 3[/latex] Ответ: 473