Сложно!Найдите производную от у=(x+2y)/(2x-y)

[latex] y = \frac{ x + 2y }{ 2x - y } \ ; [/latex] Преобразуем уравнение: [latex] ( 2x - y ) y = x + 2y \ ; [/latex] [latex] 2xy - y^2 = x + 2y \ ; [/latex] Заметим, что данное уравнение имеет квадратичную форму относительно [latex] y \ . [/latex]     Выражая из него     [latex] y(x) \ , [/latex]     мы получили бы стандартное выражение в виде корней параметрического квадратного уравнения, которых за исключением одной точки всегда 2, в том случае, если они конечно вообще есть. Таким образом, если бы мы использовали функцию     [latex] y(x) [/latex]     относительно     [latex] x \ , [/latex]     для отображения того же множества точек, что и исходное уравнение, то такая функция, во-первых, не была бы однозначной, а во-вторых была бы определана не для всех     [latex] x \ . [/latex]     Вывод: для дифференцирования такого уравнения наиболее удобно использовать именно однозначную обратную функцию     [latex] x(y) [/latex]     относительно     [latex] y \ . [/latex] Для этого выразим     [latex] x(y) [/latex]     относительно     [latex] y \ . [/latex] [latex] 2xy - x = y^2 + 2y \ ; [/latex] [latex] x ( 2y - 1 ) = y^2 + 2y \ ; [/latex] [latex] x(y) = \frac{ y^2 + 2y }{ 2y - 1 } \ ; [/latex] Продифференцируем её по     [latex] y \ , [/latex]     используя общее правило, что если     [latex] z(t) = \frac{ p(t) }{ q(t) } \ , [/latex]     то:     [latex] z'_t(t) = \frac{ p'_t q(t) - q'_t p(t) }{ q^2 (t) } \ ; [/latex] [latex] x'_y(y) = \frac{ ( 2y + 2 )( 2y - 1 ) - 2 ( y^2 + 2y ) }{ ( 2y - 1 )^2 } = \frac{ 4y^2 + 4y - 2y - 2 - 2 y^2 - 4y }{ ( 2y - 1 )^2 } = \frac{ 2y^2 - 2y - 2 }{ ( 2y - 1 )^2 } \ ; [/latex] [latex] y'_x(y) = \frac{dy}{dx} = 1 / \frac{dx}{dy} = \frac{1}{ x'_y(y) } = 1 / \frac{ 2y^2 - 2y - 2 }{ ( 2y - 1 )^2 } = \frac{ ( 2y - 1 )^2 }{ 2 ( y^2 - y - 1 ) } \ ; [/latex] О т в е т : [latex] y'_x(y) = \frac{dy}{dx} = \frac{ ( 2y - 1 )^2 }{ 2 ( y^2 - y - 1 ) } \ ; [/latex] [latex] x'_y(y) = \frac{dx}{dy} = \frac{ 2 ( y^2 - y - 1 ) }{ ( 2y - 1 )^2 } \ . [/latex]