Составьте уравнения тех касательных к графику функции y=0,5x²-2.5, которые пересекаются под углом 90° в точке, лежащей на оси y.

y=x^2/2-2.6 y'=x Касательные образуют прямоугольный треугольник, углы при основании равны 45град tg45=y' x=1 находим касательную в тчоке х=1 f(1)=0.5-2.5=-2 f'(1)=1 y=-2+1(x-1)=-2+x-1=x-3 Т.к. касательные симметричны, то вторая имеет вид y=-x-3 ответ: y=x-3; y=-x-3

Точка пересечения этого графика с  осью [latex]OY[/latex] равна [latex]-2.5[/latex] , когда [latex]x=0[/latex] , то есть эти точка должны пересекаться в этих точках .  Если первое касательная имеет вид [latex] y=kx+b[/latex] то вторая [latex]k*k_{1}=-1\\ k=-\frac{1}{k_{1}}\\ y=-\frac{x}{k_{1}}+b\\\\ [/latex]   Видно что они должны быть симметричны относительно точки пересечения .   Если [latex](x_{0};y_{0})[/latex] это есть точка касательной к графику то у второй [latex] (-x_{0};y_{0})[/latex] .    [latex]y=0.5x^2-2.5\\ y'=tga\\ x=tga\\[/latex]   То есть в итоге получим прямоугольный треугольник .   Заметим то что [latex]b<0[/latex] так как график сам расположен ниже оси [latex] OY[/latex]   Рассмотрим треугольник  который образовался с осью [latex]oX;oY[/latex] , он прямоугольный по условию прямые перпендикулярные , пользуясь запись уравнения прямых получаем что они делятся на равные углы по [latex]45а[/latex]   [latex]tg45а=1[/latex] откуда [latex](x_{0};y_{0})=(1;y_{0})\\\\ f(1)=-2\\ f'(1)=1\\\\ y=-2+1(x-1)=-2+x-1=x-3[/latex]   Вторая соответственно     [latex] y=-x-3[/latex]