Среди всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой с найдите тот, площадь которого наибольшая

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: S=a*b/2, где a,b катеты. Поскольку гипотенуза будет являться постоянной величиной c то мы можем выразить один катет через второй и гипотенузу. По теореме Пифагора b²=с²-a² b=√(с²-a²) Тогда площадь треугольника равна: S=a√(с²-a²)/2 Чтобы найти точки экстремума функции, необходимо найти ее производную. Как нам известно катеты - величина переменная, а гипотенуза постоянная, поэтому дифференциировать необходимо по катету a. S'=(a*√(c²-a²)/2)'=1/2(√(a²c²-a⁴)'=1/2(a²*c²-a⁴)⁻¹/²(a²*c²-a⁴)'=1/2(a²*c²-a⁴)⁻¹/²(2ac²-4a³) S'=0 1/2(a²*c²-a⁴)⁻¹/²(2ac²-4a³)=0 [latex] \frac{2ac^2-4a^3}{ \sqrt{a^2c^2-4a^3} }=0 [/latex] Знаменатель не может быть равен 0. 2ac²-4a³=0 2a(c²-2a²)=0 a=0 катет не может принимать значение 0. c²-2a²=0 с²=2а² с=√2а b=√((√2a)²-a²)=a Значит максимальную площадь имеет треугольник с равными катетами. Ответ площадь прямоугольного треугольника наибольшая, если он равнобедренный.