Сумма ряда Σ[n=1, бесконечность](1/n^3)

[latex]\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^3}\\\\f(x)=\frac{1}{x^3}\; -\; nepreruvna\\\\f(x)\ \textgreater \ 0\; pri\; x\in [\, 1,+\infty )\\\\f(x)\; -\; monotonno\; ybuvayushaya\; f(1)\ \textgreater \ f(2)\ \textgreater \ f(3)\ \textgreater \ ...\\\\\int \limits _{1}^{+\infty}f(x)\, dx=\int \limits _{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^3}=\lim\limits _{A\to +\infty }\int \limits _{1}^{A}\frac{dx}{x^3}=\lim\limits _{A\to +\infty } \frac{x^{-2}}{-2}|_1^{A}=\\\\=-\frac{1}{2}\cdot \lim\limits _{A\to +\infty }(\frac{1}{A^2}-1)=-\frac{1}{2}\cdot (0-1)=\frac{1}{2}\; \; -\; sxoditsya[/latex] Несобственный интеграл сходится  ⇒  ряд тоже сходится.