Существует ли такое натуральное число n, что число n^2 представимо в виде суммы квадратов трех попарно взаимно простых натуральных чисел?

 Заметим  что если положить к примеру [latex]a=2x[/latex] , то есть что оно четное , тогда следует что [latex] b;c[/latex] не четные , отсюда следует что можно рассмотреть два случая , когда все нечетные , либо  когда одно число четное     четный случаи   [latex]a=2x\\ 4x^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2=n^2[/latex]   [latex] 4x^2+4y^2+4y+4z^2+4z+2=n^2[/latex] , квадрат сравним по модулю  [latex]4[/latex] с [latex]0;1[/latex] , то есть  при делений на [latex]4[/latex] остатки равны [latex] 0;1[/latex] когда    [latex]n=[/latex]  четное и нечетное соответственно   но [latex] 4(x^2+y^2+z^2+y+z)+2[/latex] , остаток равен [latex]2[/latex] значит не может быть такого случая   второй когда все нечетные   [latex] (2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2=n^2\\ 4(x^2+y^2+z^2)+4(x+y+z)+3=n^2 [/latex]    остаток в этом случае равен [latex]3[/latex] [latex] 3 \equiv \ mod \ 4[/latex] , что противоречит , так как остатки могут быть равны [latex] 0;1[/latex]  Значит нет таких чисел