Тригонометрическое неравенство. В задании требуется: "найти решение неравенств на указанном промежутке". Вот два неравенства: [latex]1)sin2x \geq -\frac{\sqrt3}{2}, \quad x\in [-\pi; \pi];\\ 2)cos\frac{x}{3}\ \textless \ \frac...
Тригонометрическое неравенство.
В задании требуется: "найти решение неравенств на указанном промежутке".
Вот два неравенства:
[latex]1)sin2x \geq -\frac{\sqrt3}{2}, \quad x\in [-\pi; \pi];\\
2)cos\frac{x}{3}\ \textless \ \frac{1}{2}, \quad x\in [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}].[/latex]
Вот ответы моих решений самих неравенств, без выявления решений на указанных промежутках:
[latex]1) 2x\in [-\frac{\pi}{3}+2\pi n; \frac{4\pi}{3}+2\pi n], \\ x\in [-\frac{\pi}{6}+\pi n; \frac{2\pi }{3}+\pi n];\\\\ 2)\frac{x}{3}\in (\frac{\pi}{3}+2\pi n; \frac{5\pi}{3}+2\pi n),\\x\in (\pi +6\pi n; 5\pi + 6\pi n).[/latex]
Как быть с промежутками? В первом x ∈ [-π; π], но в неравенстве НЕ x, а 2x, отчего вопрос: надо ли [-π; π] умножать на 2? т.е. x ∈ [-π; π] = 2x ∈ [-2π; 2π] ?
А во втором неравенстве наоборот, делить всё, как точки неравенства, так и указанный промежуток на 3?
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
ГостьТак как уже найден х, то домножать 2 (или делить на 3) нет необходимости. В принципе, можно домножить/разделить заданный промежуток, найти ответ относительно новой переменной (у=2х или z=х/3) и вернуться к исходной переменной х.
1. Находим пересечение общего решения [latex]x\in [-\frac{\pi}{6}+\pi n;\ \frac{2\pi }{3}+\pi n][/latex] с заданным промежутком [latex] [-\pi;\ \pi][/latex]. Пересекая, получаем ответ: [latex]x\in[-\pi;\ -\frac{\pi }{3}]\cup[-\frac{\pi}{6};\ \frac{2\pi }{3}]\cup[\frac{5\pi}{6};\ \pi][/latex]
2. Обозначим [latex] \frac{x}{3} =z[/latex]. Тогда, заданный промежуток примет вид [latex][\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2}][/latex]. Ищем пересечение общего решения [latex]z\in (\frac{\pi}{3}+2\pi n; \frac{5\pi}{3}+2\pi n)[/latex] с промежутком [latex][\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2}][/latex]. Пересекая, получаем ответ: [latex]z\in( \frac{\pi }{3}; \ \frac{\pi }{2}][/latex]
Возвращаемся к переменной х: [latex] \frac{x}{3} \in( \frac{\pi }{3}; \ \frac{\pi }{2}][/latex]
Итоговый ответ: [latex]x \in( \pi ; \ \frac{3\pi }{2}][/latex]
Не нашли ответ?
Похожие вопросы