Тригонометрическое уравнение [latex]sin2x+3=3sinx+3cosx[/latex]

[latex]\sin 2x+3=3\sin x+3\cos x\\ \sin 2x+3(\sin^2x+\cos^2x)-3(\sin x+\cos x)=0\\ \sin2x+3(\sin^2x+\cos^2x+\sin2x-\sin2x)-3(\sin x+\cos x)=0\\ \sin 2x+3((\sin x+\cos x)^2-\sin2x)-3(\sin x+\cos x)=0\\ \sin2x+3(\sin x+\cos x)^2-3\sin2x-3(\sin x+\cos x)=0\\ 3(\sin x+\cos x)^2-3(\sin x+\cos x)-2\sin 2x=0[/latex]  Пусть [latex]\sin x+\cos x=t\,(|t| \leq \sqrt{2} )[/latex], тогда возведем обе части в квадрат: [latex]1+\sin2x=t^2[/latex], откуда [latex]\sin2x=t^2-1[/latex] Заменяем [latex]3t^2-3t-2(t^2-1)=0\\ 3t^2-3t-2t^2+2=0\\ t^2-3t+2=0[/latex] По т. Виета [latex]t_1=2[/latex] - не удовлетворяет условию при [latex]|t| \leq \sqrt{2}[/latex] [latex]t_2=1[/latex] Возвращаемся к замене [latex]\sin x+\cos x=1[/latex] А теперь есть формула  [latex]a \sin x\pm b\cos x= \sqrt{a^2+b^2}\sin(x\pm\arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} }) [/latex] В нашем случае [latex] \sqrt{1^2+1^2}\sin (x+\arcsin \frac{1}{ \sqrt{1^2+1^2} } )=1\\ \sqrt{2}\sin (x+ \frac{\pi}{4})=1\\ \sin (x+ \frac{\pi}{4})= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ x+\frac{\pi}{4}=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4}+\pi k,k \in Z\\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in Z [/latex]