Упростить выражение [latex] \frac{ (m-1) \sqrt{m} -(n-1) \sqrt{n} }{ \sqrt{ m^3n }+mn+ m^{2}-m }[/latex]

Решение....................

[latex]\frac{(m-1)\sqrt{m}-(n-1)\sqrt{n}}{\sqrt{m^3n}+mn+m^2-m}[/latex] 1. В знаменателе алгебраической дроби попытаемся вынести m за скобки, применив обратное свойство распределительного умножения:  [latex]\sqrt{m^3n}+mn+m^2-m=\sqrt{m^2}*\sqrt{mn}+mn+m^2-m=\\m\sqrt{mn}+mn+m^2-m=m(\sqrt{mn}+n+m-1)[/latex].  2.1. Перемножаем всё, что находится в числителе:  [latex](m-1)\sqrt{m}-(n-1)\sqrt{n}=m*\sqrt{m}-\sqrt{m}-(n*\sqrt{n}-\sqrt{n})=\\\sqrt{m^2}*\sqrt{m}-\sqrt{m}-\sqrt{n^2}*\sqrt{n}+\sqrt{n}=\\\sqrt{m^3}-\sqrt{m}-\sqrt{n^3}+\sqrt{n}=(\sqrt{m})^3-\sqrt{m}-(\sqrt{n})^3+\sqrt{n}[/latex] 2.2. Как мы видим, в числителе хорошо виднеется разность кубов; раскладываем на множители, заключаем оставшиеся 2 слагаемых в скобки с минусом перед ними и смотрим, что получается:  [latex](\sqrt{m})^3-(\sqrt{n})^3-\sqrt{m}+\sqrt{n}=\\(\sqrt{m}-\sqrt{n})((\sqrt{m})^2+\sqrt{m}*\sqrt{n}+(\sqrt{n})^2)-(\sqrt{m}-\sqrt{n})=\\(\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n)-(\sqrt{m}-\sqrt{n})[/latex] 2.3. Выделяем общий множитель:  [latex](\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n)-(\sqrt{m}-\sqrt{n})=\\(\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n-1)[/latex] 3. Записываем дробь в таком виде, в каком все привыкли её видеть:  [latex]\frac{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n-1)}{m(\sqrt{mn}+n+m-1)}[/latex] Наглядно видно даже, что, как и где сокращается. Ответ: [latex]\frac{(m-1)\sqrt{m}-(n-1)\sqrt{n}}{\sqrt{m^3n}+mn+m^2-m}=\frac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{m}[/latex]