Упростить выражение: [latex]0.2(2a^{log_2b}+3b^{log_{ \sqrt{2} } \sqrt{a} })[/latex]

В решении будем использовать следующее равенство: [latex]a^{\log_2b}=b^{\log_2a}[/latex] Доказательство: прологарифмируем каждую из частей по основанию 2 и применим одно из свойств логарифма: [latex]\log_2a^{\log_2b}=\log_2b^{\log_2a} \\\ \log_2b\log_2a=\log_2a\log_2b[/latex] Получили верное равенство, значит и исходное равенство верно. Упрощаем: [latex] 0.2(2a^{\log_2b}+3b^{\log_{ \sqrt{2} } \sqrt{a} }) = 0.2(2a^{\log_2b}+3b^{\log_2a }) = \\\ = 0.2(2a^{\log_2b}+3a^{\log_2b }) =0.2\cdot5a^{\log_2b}=a^{\log_2b}[/latex]