В арифметической прогрессии 20 членов. Сумма членов, состоящих на четных местах, равна 250, а на нечетных 220. Найдите десятый член прогрессии.

На нечетных местах стоят следующие 10 членов: [latex]a_1; \ a_1+2d; \ a_1+4d; \ ...; \ a_1+18d[/latex] Найдем сумму этих членов: [latex]S=a_1+(a_1+2d)+(a_1+4d)+ ...+ (a_1+18d)= \\\ =10a_1+(2+4+...+18)d=10a_1+90d[/latex] По условию эта сумма равна 220: [latex]10a_1+90d=220[/latex] Разделим обе части последнего равенства на 10: [latex]a_1+9d=22[/latex] Заметим, что согласно общей формуле n-ого члена арифметической прогрессии [latex]a_n=a_1+d(n-1)[/latex] в левой части получившегося равенства стоит искомый десятый член: [latex]a_{10}=a_1+9d=22[/latex] Ответ: 22

[latex]a_2+a_4+...+a_{20}=250 \\ a_1+a_3+...+a_{19}=220 \\ a_{10}=? \\ S_{20}=a_1+a_2+a_3+...+a_{19}+a_{20}=250+220=470 \\ S_{20}= \frac{a_1+a_{20}}{2}*20= \frac{a_1+a_1+19d}{2}*20= \frac{2a_1+19d}{2}*20 \\ 10(2a_1+19d)=S_{20} \\ 10(2a_1+19d)=470 \iff 2a_1+19d=47 \\ a_1+a_3+...+a_{19}=a_1+(a_1+2d)+(a_1+4d)+...+(a_1+18d)=220 \\ 10a_1+(2+4+6+8+10+12+14+16+18)d=220 \\ 10a_1+90d=220 \\ \left \{ {{2a_1+19d=47} \atop {10a_1+90d=220}} \right. \\ \\ \left \{ {{2a_1+19d=47} \atop {a_1+9d=22}} \right. [/latex] [latex]a_1=22-9d \\ 2(22-9d)+19d=47 \\ 44-18d+19d=47 \\ d=47-44 \\ d=3 \\ a_1=22-9*3=22-27 \\ a_1=-5 \\ a_{10}=a_1+9d=-5+9*3=27-5=22 \\ a_{10}=22[/latex]