В окружность радиуса 4 см вписан квадрат, в который снова вписана окружность, и т.д. найдите сумму длин всех таких окружностей.

Если вписать квадрат в окуржность, то его диагональ будет диаметром этой окружности (угол опирающийся на диаметр - прямой). Таким образом длина диагонали квадрата вписанного в окружность: [latex]d = a \cdot \sqrt{2}[/latex], где a - сторона квадрата. Так как диагональ есть диаметр то она равна двум радиусам: [latex]d = 2 \cdot R[/latex]. Тогда выразим длину стороны квадрата: [latex]2 \cdot R = a \cdot \sqrt{2} \\a = \frac{2 \cdot R}{\sqrt{2}}[/latex]   Если вписать окружность в квадрат, то ее радиус будет равен половине стороны квадрата: [latex]r = \frac{a}{2}[/latex]. Подставив предыдущую формулу в данную, получим: [latex]r = \frac{R}{\sqrt{2}}[/latex].   Таким образом мы получили бесконечно убывающую геометрическую прогрессию радиусов окружностей. Первый элемент [latex]r_1 = 4[/latex], знаменатель прогресии [latex]q = \frac{1}{\sqrt{2}}[/latex]. Сумма всех радиусов равна [latex]S_r = \frac{r_1}{1 - q } = \frac{4}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}[/latex].   Тогда сумма длин всех окружностей: [latex]C_s = 2 \cdot \pi \cdot S_r = \\= 2 \cdot \pi \cdot \frac{4}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \\ = \frac{8 \cdot \pi \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \\ = 8 \cdot \pi \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} + 1)[/latex]