В окружность вписан правильный треугольник и вокруг окружности описан правильный треугольник. Найдите: отношение их площедей

Найдём сторону a правильного многоугольника, вписанного в окружность с радиусом R:   [latex]sin \frac{\alpha}{2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{R}[/latex],   где [latex]\alpha = \frac{2\pi}{n}[/latex], n — число сторон правильного многоугольника.   Для правильного треугольника имеем: [latex]a = 2R \cdot sin \frac{\pi}{3}[/latex].   Найдём сторону A правильного многоугольника, описанного около окружности с радиусом r:   [latex]tg \frac{\alpha}{2} = \frac{A}{2} \cdot \frac{1}{r}[/latex].   Для частного случая правильного треугольника: [latex]A = 2r \cdot tg \frac{\pi}{3}[/latex]   Окружность у нас одна и та же (R = r).   Находим отношение сторон:   [latex]\displaystyle \frac{A}{a} = \frac{r}{R} \cdot \frac{tg \frac{\pi}{3}}{sin \frac{\pi}{3}} = 1 \cdot \frac{1}{cos \frac{\pi}{3}} = 2[/latex]   Итак, сторона описанного равностороннего треугольника в два раза больше вписанного.   Площадь равностороннего треугольника со стороной a:   [latex]s = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot h = \frac{ah}{2}[/latex],   где h — высота треугольника, [latex]h^2 = \frac{3}{4} a^2 \Rightarrow h = \frac{\sqrt 3}{2} a[/latex].   [latex]s = \frac{\sqrt 3}{4} \cdot a^2[/latex]   Следовательно, площади относятся друг к другу как квадраты сторон.   [latex]\frac{S}{s} = \left(\frac{A}{a}\right)^2 = 2^2 = 4[/latex]   P.S. Решения правятся только со второй-третей попытки.