В треугольнике ABC точка M лежит на стороне AC, а точка L на стороне BC расположена так, что BL : LC = 2 : 5. Прямая, проходящая через точку L параллельно стороне AB, пересекает отрезок BM в точке O, причем BO : OM=7 : 4. Найди...

Задачу можно решить двумя способами: 1) посредством формул, аксиом и теорем планиметрии, изучаемых в стандартной школьной программе; 2) и через привлечение теоремы Менелая. Решим её обоими способами: [[[ 1 ]]] с п о с о б Обозначим длины сторон треугольника [latex] \Delta ABC [/latex] как: [latex] AB = c [/latex] ; [latex] BC = a [/latex] ; и [latex] AC = b [/latex] ; Тогда: [latex] BL = \frac{2}{7} a [/latex] ; Обозначим [latex] MC = xb , [/latex] где [latex] x [/latex] – некоторое число, такое, что: [latex] 0 < x < 1 [/latex] ; Найдя это число [latex] x , [/latex] мы найдём и пропорцию, в которой [latex] BM [/latex] делит сторону [latex] AC [/latex] ; Проведём прямую [latex] LQ || AC , [/latex] тогда по трём углам: [latex] \Delta QBL \sim \Delta MBC , [/latex] а значит: [latex] \frac{QL}{MC} = \frac{BL}{BC} [/latex] и [latex] \frac{BQ}{BM} = \frac{BL}{BC} [/latex] ; [latex] QL = \frac{ \frac{2}{7} a }{a} MC [/latex] и [latex] BQ = \frac{ \frac{2}{7} a }{a} BM [/latex] ; [1] [latex] QL = \frac{2}{7} xb [/latex] и [latex] BQ = \frac{2}{7} BM [/latex] ; Поскольку [latex] BO = \frac{7}{7+4} BM = \frac{7}{11} BM , [/latex] то: [latex] QO = BO - BQ = \frac{7}{11} BM - \frac{2}{7} BM = ( \frac{49}{77} - \frac{22}{77} ) BM [/latex] ; [latex] QO = \frac{27}{77} BM [/latex] ; По трём углам: [latex] \Delta OQL \sim \Delta OMK , [/latex] а значит: [latex] \frac{MK}{QL} = \frac{MO}{QO} [/latex] и [latex] MK = \frac{MO}{QO} QL [/latex] ; Поскольку [latex] MO = \frac{4}{7+4} BM = \frac{4}{11} BM [/latex] и по [1] [latex] QL = \frac{2}{7} xb , [/latex] то: [latex] MK = \frac{MO}{QO} QL = \frac{ \frac{4}{11} BM }{ \frac{27}{77} BM } \frac{2}{7} xb = \frac{4}{11} \cdot \frac{77}{27} \cdot \frac{2}{7} xb = \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{2}{1} xb [/latex] ; [latex] MK = \frac{8}{27} xb [/latex] ; По теореме Фалеса, об отсечении параллельными прямыми внутри угла пропорциональных отрезков, получается, что: [latex] KC = \frac{5}{7} b [/latex] ; Тогда получаем уравнение: [latex] KC = KM + MC [/latex] ; [latex] \frac{5}{7} b = \frac{8}{27} xb + xb [/latex] ; [latex] \frac{5}{7} = ( 1 + \frac{8}{27} ) x [/latex] ; [latex] \frac{5}{7} = \frac{35}{27} x [/latex] ; [latex] x = \frac{5}{7} : \frac{35}{27} = \frac{5}{7} \cdot \frac{27}{35} = \frac{1}{7} \cdot \frac{27}{7} [/latex] ; [latex] x = \frac{27}{49} [/latex] ; Значит [latex] MC = \frac{27}{49} AC [/latex] и [latex] AM = \frac{22}{49} AC , [/latex] откуда ясно, что отношение, в котором точка [latex] M [/latex] делит сторону [latex] AC , [/latex] считая от точки [latex] C , [/latex] будет: [latex] CM : MA = \frac{27}{49} AC : \frac{22}{49} AC [/latex] ; [latex] CM : MA = 27 : 22 . [/latex] [[[ 2 ]]] с п о с о б Применим теорему Менелая в треугольнике [latex] \Delta BCM [/latex] с секущей [latex] KL [/latex] : [latex] \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CK}{KM} \cdot \frac{MO}{OB} = 1 [/latex] ; [latex] \frac{2}{5} \cdot \frac{ \frac{5}{7} b }{KM} \cdot \frac{4}{7} = 1 [/latex] ; [latex] \frac{5}{7} b : KM = \frac{35}{8} [/latex] ; [latex] \frac{5}{7} b : \frac{35}{8} = KM [/latex] ; [latex] KM = \frac{5}{7} \cdot \frac{8}{35} b = \frac{1}{7} \cdot \frac{8}{7} b [/latex] ; [latex] KM = \frac{8}{49} b [/latex] ; Отсюда: [latex] AM = AK + KM = \frac{2}{7} b + \frac{8}{49} b = ( \frac{14}{49} + \frac{8}{49} ) b [/latex] ; [latex] AM = \frac{22}{49} b [/latex] ; Значит [latex] MC = \frac{27}{49} AC , [/latex] откуда ясно, что отношение, в котором точка [latex] M [/latex] делит сторону [latex] AC , [/latex] считая от точки [latex] C , [/latex] будет: [latex] CM : MA = \frac{27}{49} AC : \frac{22}{49} AC [/latex] ; [latex] CM : MA = 27 : 22 . [/latex] О т в е т : [latex] CM : MA = 27 : 22 . [/latex]