В треугольнике ABC вписанная окружность касается стороны AB в точке K. Другая окружность касается продолжений сторон АС, ВС и касается стороны АВ в точке L. Докажите, что AL=BK.

Вторая окружность называется вневписанной. У каждого треугольника есть одна вписанная и три вневписанных окружности. Понадобится еще несколько точек.  M - точка касания AC с вписанной окружностью. N - точка касания BC с вписанной окружностью. D - точка касания AC с вневписанной окружностью.  E - точка касания BC с вневписанной окружностью. L - точка касания AB с вписанной окружностью. Само доказательство совсем простое и короткое. MD = MA + AL = AK + AL = 2*AL + KL; NE = NB + BL = BK + BL = 2*BK + KL;  очевидно, что MD = NE; (ну, CD = MD + CM; CE = NE + CN; и CD = CE; CM = CN;) откуда сразу следует AL = BK; чтд.