В треугольнике АВС АС=4√3, ВС=12, угол С=90 гр. окружность проходит через вершины А и С треугольника и пересекает гипотенузу в точке К так, что АК:КВ=3:1. найти радиус окружности.

Гипотенуза АВ равна √((4√3)²+12²) = √(48+144) = √192 =8√3. Тангенс угла А равен 12/4√3 = 3/√3 = √3. Угол А равен arc tg√3 = 60°. Отрезок АК = (8√3)*(3/4) = 6√3. По теореме косинусов находим длину СК: СК = √((4√3)²+(6√3)²-2*(4√3)*(6√3)*cos60°) = √(48+108-72) = √84 = 2√21. Радиус окружности, проходящей через точки А, С и К - это радиус описанной окружности около треугольника АСК. R = a/(2sinA) = 2√21/(2*sin60°) = 2√21/(2*(√3/2)) = 2√7 ≈  5.2915026.