В треугольнике АВС известны стороны: АВ=7, ВС=10, АС=8. Окружность, проходящая Через точки А и С, пересекает прямые ВА и ВС соответственно в точках К и Л, отличных от вершин треугольника. Отрезок КЛ касается окружности, вписанн...

Обозначим О центр вписанной в треугольник окружности. Обозначим точки касания вписанной окружностью М - со стороной АВ, Р - со стороной ВС, и - точно так - же точку касания с KL обозначим N.  Из-за того, что АСKL - вписанный четырехугольник, угол KLC + угол ВАС = 180 градусов, но угол BLK + угол KLC = 180 градусов, поэтому угол BLK = угол ВАС. Поэтому треугольник ВКL подобен АВС.  Обозначим BM = BP = x; АМ = АК = y; CK = CP = z - отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности. x + y = 7; y + z = 8; x + z = 10; x - y = 2; 2*x = 9; нам понадобится именно эта величина, остальное считать не будем. Периметр треугольника BKL равен 2*x = 9; поскольку KM = KN и NL = LP, поэтому BK + KL + BL = BK + KN + NL + BL = MB + BP = 2*x Из того, что BKL подобен АВС, следует, что BL = KL*7/8; BK = KL*10/8, периметр равен KL*25/8; Поэтому  KL*25/8 = 9; KL = 72/25;