В треугольнике АВС проведены биссектрисы АD и СЕ. Найдите отношение площадей треугольников АЕD и АВС, если АВ = 21, АС = 28,и ВС = 20.

По основному свойству биссектрисы получаем, что AE = 196 / 16, EB = 140 / 16, BD = 60 / 7, DC = 80 / 7. Пусть ∠EAD = ∠DAC = α, ∠BCE = ∠ECA = β. Тогда: [latex]S_{AED}=\frac{AE\cdot AD}{2}\sin\alpha\\ S_{ADC} = \frac{AC\cdot AD}{2}\sin\alpha=\frac{DC\cdot AC}{2}\sin2\beta\\ S_{ABC}=\frac{AC\cdot CB}{2}\sin2\beta=\frac{CB}{DC}\cdot S_{ADC}\\ S_{AED}=\frac{AE}{AC}\cdot S_{ADC}=\frac{AE\cdot DC}{AC\cdot CB}\cdot S_{ABC}\\ S_{AED}/S_{ABC}=\frac{AE\cdot DC}{AC\cdot CB}=\frac{\frac{196}{16}\cdot\frac{80}{7}}{28\cdot20}=\frac{1}{4}[/latex]