В выпуклом четырёхугольнике NPQM  диагональ NQ  является биссектрисой угла PNM  и пересекается с диагональю PM  в точке S . Найдите NS , если известно, что около четырёхугольника NPQM  можно описать окружность, PQ=44 , SQ=22 .

 Рассмотрим треугольник [latex]PNM[/latex].  Так как  сторона  [latex]NS[/latex] - общая , то [latex]PNS=NSM[/latex].   Тогда  [latex]PS=SM[/latex] , так как  [latex]NQ[/latex] биссектриса.   По свойству хорд получаем  [latex]22*NS=PS*MS[/latex]   [latex]22*NS=MS^2\\[/latex]   Воспользуемся теоремой  Птолемея , получим          [latex](PS+22)(2MS)=MQ*PN+NM*44[/latex] так как треугольники  [latex]PNQ;MNQ[/latex]       равны, то [latex]MQ=PN\\\\ (PS+22)*2MS=88NM\\ 22NS=MS^2\\ NP=NM\\ [/latex]   откуда получаем      [latex](PS+MS)(22+\frac{PS*MS}{22})=88*\frac{(PS+MS)MS}{PS} \\ PS*MS=1936-484=1452\\ NS=\frac{1452}{22}=66[/latex]