Вася выбрал несколько различных натуральных чисел Среднее геометрическое двух самых маленьких из них равно 4,а среднее геометрические двух самых больших равно 15 Чему равна сумма всех Васиных чисел?

Средне-геометрическим двух неотрицательны чисел   [latex] p \ [/latex]   и   [latex] q \ [/latex] называют величину   [latex] G = \sqrt{ p \cdot q } \ . [/latex] Если это выражение возвести в квадрат и слева и справа, то мы получим, что:   [latex] G^2 = ( \sqrt{ p \cdot q } )^2 \ [/latex] или просто:   [latex] p \cdot q = G^2 \ ; [/latex] Тогда условие задачи, можно переформулировать так: «произведение двух самых маленьких чисел равно   [latex] 4^2 = 16 \ , [/latex]   а произведение двух самых больших равно   [latex] 15^2 = 225 \ . [/latex]   » Произведение 16 можно составить из разных натруральных чисел только двумя способами: I.     [latex] 16 = 1 \cdot 16 \ ; [/latex] II.     [latex] 16 = 2 \cdot 8 \ ; [/latex] Поскольку это должны быть минимальные числа, то остальные числа могут быть только больше. I*   В первом случае остальные числа могут быть только больше    [latex] 16 \ , [/latex]    т.е.:    [latex] \{ 17, 18, 19, 20, 21 ... \} \ ; [/latex] Но произведение даже [latex] 17 \cdot 18 = 306 > 225 \ ; [/latex] И произведение любых двух чисел, больших, чем    [latex] 16 [/latex]    каждое – будет, очевидно, больше чем    [latex] 16 \cdot 16 = 256 \ , [/latex]    т.е. больше    [latex] 225 \ , [/latex]     а значит, при выборе минимальных чисел в виде     [latex] 1 [/latex]    и     [latex] 16 [/latex]    – подобрать остальные числа невозможно. II*   Во втором случае остальные числа могут быть только больше    [latex] 8 \ , [/latex]    т.е.:    [latex] \{ 9, 10, 11, 12, 13 ... \} \ ; [/latex] Рассмотрим разложение на множители числа     [latex] 225 = 15^2 = 3^2 5^2 \ ; [/latex] [latex] 225 = 1 \cdot 225 = 3 \cdot 75 = 5 \cdot 45 = 9 \cdot 25 = 15 \cdot 15 \ ; [/latex] На подойдут только числа, большие восьми и не равные друг другу, т.е.    [latex] 9 [/latex]    и    [latex] 25 \ . [/latex] Таким образом Вася выбрал числа [latex] 2, 8, 9 [/latex]    и    [latex] 25 \ . [/latex] В диапазон между     [latex] 2 [/latex]    и    [latex] 8 [/latex]     Вася никаких чисел добавить не мог бы, поскольку тогда минимальные числа стали бы другими, и их произведение уже не было бы    [latex] 16 \ . [/latex] Между     [latex] 8 [/latex]    и    [latex] 9 [/latex]     никаких натуральных чисел нет. В диапазон между     [latex] 9 [/latex]    и    [latex] 25 [/latex]     Вася тоже никаких чисел добавить не мог бы, поскольку тогда максимальные числа стали бы другими, и их произведение уже не было бы    [latex] 225 \ . [/latex] Сумма всех Васиных чисел:     [latex] 2 + 8 + 9 + 25 = 44 \ ; [/latex] О т в е т : [latex] 44 \ . [/latex]