Внутри квадрата со стороной 10 отметили 6 различных точек все попарные расстояния между которыми целые числа.докажите что среди этих расстояний найдутся равные.

В таком квадрате - квадрате со стороной 10 - можно отметить 6 точек, соответствующих требованию задачи, только расположив их на одной прямой с изначально равным пошаговым расстоянием 1 или 2. Для наглядности показываю на приложенном рисунке, как точки могут располагаться. Вариантов расположения - бесконечное множество, но все они являются расположением 6-ти точек на одной прямой с равным расстоянием 1 или 2 между двумя ближайшими точками. Только тогда расстояние между любыми точками равно целому числу. Если же располагать  в два ряда хотя бы ( не говоря уже о хаотичном расположении) ,  расстояния между некоторыми точками первого и второго ряда обязательно становятся дробными числами.