Вообщем есть задача из учебника и ответ к ней. Мне не понятно её изложение: Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа. Ответ — 6 Как я...
Вообщем есть задача из учебника и ответ к ней. Мне не понятно её изложение:
Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.
Ответ — 6
Как я это понимаю: есть два числа, например a и b. Число a мы умножали на 2 и 3. Число b и возводили в квадрат и в куб:
[latex]a\cdot2[/latex] затем [latex]2a\cdot3=6a[/latex]
Значит [latex]6a=b^3 [/latex]
Если это число 6 то [latex]6^3=216\qquad6^2=36\\
216/3=72[/latex]
Но [latex]72 \neq 36[/latex]
Значит условие задачи написано неправильно или я чего-то недопонял?
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
ГостьНужно найти наименьшее натуральное число, которое при умножении на 2 даст полный квадрат, а при умножении на 3 - полный куб.
Обозначим искомое число за [latex]x[/latex]. Любое число можно представить в виде произведения простых множителей. Запишем:
[latex]x = 2^n * 3^m*k[/latex], где [latex]n,m,k[/latex] - некоторые натуральные числа.
По условию, число [latex]2x = 2^{n+1}*3^m*k[/latex] является полным квадратом, значит [latex]n+1[/latex] и [latex]m[/latex] - четные числа, а [latex]k[/latex] - полный квадрат. Аналогично, число [latex]3x = 2^n*3^{m+1}*k[/latex] является полным кубом, значит [latex]n[/latex] и [latex]m+1[/latex] делятся на 3, а [latex]k[/latex] - полный куб.
Легко видеть, что наименьшие возможные значения [latex]n,m,k[/latex] это [latex]n = 3, m = 2, k = 1[/latex], значит [latex]x = 2^3*3^2*1 = 72[/latex].
Не нашли ответ?
Похожие вопросы