Вычислить двойной интеграл,ограниченного заданными линиями: ∫ ∫ по области D int x dx dy, D: y=x+2, y=x^2

Найдем абсциссы точек пересечения графиков х+2=х² х²-х-2=0 х₁=-1    х₂=2 Это пределы интегрирования внешнего интеграла по переменной х Второй интеграл по переменной у, тогда подинтегральная переменная х представляет для внутреннего интеграла константу , её можно вынести за знак внутреннего интеграла. первая линия (линия входа в область по оси у): парабола у=х² . Это нижний предел внутреннего интеграла по переменной у, вторая линия (линия выхода из области): прямая у=х+2. Это верхний предел внутреннего интеграла по переменной у [latex]= \int\limits^2_{-1} {x} \, dx \int\limits^{x+2}_{ x^{2} } {} \, dy= \int\limits^2_{-1} {x\cdot(y)^{x+2}_{ x^{2} }} \, dx = \int\limits^2_{-1} {x\cdot(x+2- x^{2} ) \, dx =[/latex] [latex]\\ \\ = \int\limits^2_{-1} ( x^{2} +2x- x^{3}) dx =( \frac{ x^{3} }{3}+ x^{2} - \frac{ x^{4} }{4}) ^2_{-1}= \\ \\ = \frac{8}{3}+4-4-(- \frac{1}{3}+1- \frac{1}{4})=2 \frac{1}{4} [/latex]