Вычислить неопределенные интегралы: (во вложений) Все задания с полным решением. Пожалуйста...

Вычислите неопределенные интегралы a)[latex] \int\limits{x*arctg(2x)} \, dx [/latex] Интегрируем по частям [latex] \int\limits {U(x)} \, dV(x)=U(x)V(x)- \int\limits{V(x)} \, dU(x) [/latex] [latex] \int\limits{x*arctg(2x)} \, dx=\begin{vmatrix}U=arctg(2x)\, \; dU=\frac{2}{4x^2+1}dx\\dV=xdx\; V=\frac{x^2}{2} \end{vmatrix} =[/latex][latex]\frac{x^2}{2}*arctg(2x)- \int\limits{ \frac{x^2}{4x^2+1} } \, dx [/latex] Находим второй интеграл отдельно [latex]\int\limits{ \frac{x^2}{4x^2+1} } \, dx = \frac{1}{4}\int\limits{ \frac{4x^2+1-1}{4x^2+1} } \, dx=\frac{1}{4}\int\limits{(1-\frac{1}{4x^2+1} }) \, dx = [/latex] [latex]=\frac{1}{4}\int\limits{}dx-\frac{1}{4}\int\limits{\frac{1}{4x^2+1} } \, dx=\frac{x}{4}-\frac{1}{8}\int\limits{\frac{1}{(2x)^2+1} } \, d(2x)=[/latex] [latex]=\frac{x}{4}-\frac{1}{8}*arctg(2x)+C[/latex] Окончательно запишем [latex]\int\limits{x*arctg(2x)} \, dx =\frac{x^2}{2}*arctg(2x)+\frac{1}{8}arctg(2x)-\frac{x}{4}+C[/latex] б)[latex] \int\limits { \frac{x+ln^2(x)}{x}} \, dx= \int\limits {(1+\frac{ln^2(x)}{x})} \, dx= \int\limits{} \, dx+\int\limits {\frac{ln^2(x)}{x}} \, dx=x+\int\limits {\frac{ln^2(x)}{x}} \, dx [/latex] Второй интеграл найдем отдельно [latex]\int\limits {\frac{ln^2(x)}{x}} \, dx =\begin{vmatrix}u=ln(x)\\du=\frac{1}{x}dx\end{vmatrix}= \int\limits{u^2} \, du= \frac{u^3}{3}+C= \frac{ln^3(x)}{3}+C [/latex] Таким образом получили [latex] \int\limits { \frac{x+ln^2(x)}{x}} \, dx=x+\ \frac{1}{3}ln^3(x)+C [/latex] в) [latex] \int\limits{ \frac{ \sqrt{x-2}}{1+ \sqrt{x-2} } } \, dx[/latex] Используем замену переменных [latex]\int\limits{ \frac{ \sqrt{x-2}}{1+ \sqrt{x-2} } } \, dx=\begin{vmatrix}x-2=u^2\\dx=2udu\end{vmatrix}=\int\limits{ \frac{ 2u^2}{1+ u } \,du= 2\int\limits{(u-1+ \frac{1}{u+1}) } \, du= [/latex] [latex]=u^2-2u+ ln(u+1)+C= x-2+2 \sqrt{x-2}+ln( \sqrt{x-2}+1)+C [/latex] г)[latex] \int\limits{ cos\frac{x}{ \sqrt{2} }} \, dx= \sqrt{2} \int\limits{ cos\frac{x}{ \sqrt{2} }} \, d( \frac{x}{ \sqrt{2} } ) =\sqrt{2}*sin\frac{x}{ \sqrt{2}} +C[/latex]