Вычислить площадь (плоской) фигуры, ограниченной линиями: (во вложений) С полным решением. Помогите пожалуйста...

Вычислить площадь плоской фигуры ограниченной линиями [latex]y= \sqrt{4-x^2} [/latex],  y=0, x=0, x=1 Решение: Графики линий и сама плоская фигура начерчены в файлах. Площадь фигуры найдем по формуле [latex]S= \int\limits^1_0 { \sqrt{1-x^2} } \, dx [/latex] Найдем в начале неопределенный интеграл применим подстановку новой переменной  х=2sin(u) [latex]\int\limits{ \sqrt{4-x^2} } \, dx = \begin{vmatrix}x=2sin(u)\\dx=2cos(u)du\end{vmatrix}=\int\limits{ 2cos(u)\sqrt{4-4sin^2(u)} } \, du=[/latex] [latex]=\int\limits{ 2cos(u)\sqrt{4(1-sin^2(u))} } \, du=\int\limits{ 4cos(u)\sqrt{cos^2(u)} } \, du=[/latex] [latex]=\int\limits{ 4cos^2(u) } \, du=2\int\limits{(1+cos(2u))} } \, du=2\int\limits{} } \, du+2\int\limits{cos(2u)} } \, du=[/latex] [latex]=2u+\int\limits{cos(2u)} } \, d2u=2u+sin(2u)=2u+2sin(u)cos(u)=[/latex] [latex]=2u+2sin(u) \sqrt{1-sin^2(u)} [/latex] Производим обратную замену sin(u)=x/2,  u=arcsin(x/2) [latex]2u+2sin(u) \sqrt{1-sin^2(u)} =2arcsin( \frac{x}{2})+ x \sqrt{1- \frac{x^2}{4}} = [/latex] [latex]=2arcsin( \frac{x}{2})+ \frac{x}{2}\sqrt{4- x^2} [/latex] Поэтому неопределенный интеграл равен [latex]\int\limits{ \sqrt{4-x^2} } \, dx=2arcsin( \frac{x}{2})+ \frac{x}{2}\sqrt{4- x^2}[/latex] Находим площадь фигуры [latex]S= \int\limits^1_0 { \sqrt{1-x^2} } \, dx =2arcsin( \frac{x}{2})+ \frac{x}{2}\sqrt{4- x^2}\begin{vmatrix}x=1\\x=0\end{vmatrix}=[/latex] [latex]=2arcsin( \frac{1}{2})+ \frac{1}{2}\sqrt{4- 1^2}-2arcsin( \frac{0}{2})+ \frac{0}{2}\sqrt{4- 0^2}=[/latex] [latex]=2arcsin( \frac{1}{2})+ \frac{ \sqrt{3}}{2}=2* \frac{\pi}{6} + \frac{ \sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{3} + \frac{ \sqrt{3}}{2}\approx 1,913[/latex] Ответ: S=π/3+√3/2≈1,913 б)[latex] \left \{ {{x=2 \sqrt{2}cos(t) \atop {y=5 \sqrt{2}sin(t) }} (\right. y \geq 0)[/latex] Графики линий и сама плоская фигура начерчены в файлах. Площадь фигуры найдем по формуле [latex]S= \int\limits^{t_2}_{t_1} { y(t)x'(t)} } \, dt [/latex] Производная переменной х по t равна [latex]x'(t)=(2 \sqrt{2}cos(t))'=-2 \sqrt{2}sin(t)[/latex] [latex]S= -\int\limits^{0}_{\pi} {(5 \sqrt{2}sin(t)*2 \sqrt{2}sin(t)}) } \, dt =\int\limits^{\pi}_{0} {20sin^2(t) } \, dt= [/latex] [latex]=10\int\limits^{\pi}_{0} {(1-cos(2t))} \, dt=10\int\limits^{\pi}_{0} dt-5\int\limits^{\pi}_{0} {cos(2t)} \, d2t=[/latex] [latex](10t-5sin(2t))\begin{bmatrix}t_2=\pi\\t_1=0\end{bmatrix}=10\pi-5sin(2\pi)-10*0+5sin(2*0)=10\pi[/latex] Ответ: 10π≈31,4 в) r =4сos([latex]\psi[/latex]) Плоская фигура начерчена в файлах. Площадь фигуры найдем по формуле [latex]S= \frac{1}{2} \int\limits^{ \beta} _{ \alpha } {r^2(\psi)} \, d\psi [/latex] Так как фигура состоит из 8 одинаковых симметричных лепестков, то определим площадь половинки  лепестка и умножим на 16. При этом углы интегрирования будут равны [latex] \alpha =0[/latex]   [latex] \beta = \frac{\pi}{8} [/latex] [latex]S= 16*\frac{1}{2} \int\limits^{ \frac{\pi}{8} } _{ 0 } {16cos^2(4\psi)} \, d\psi=128\int\limits^{ \frac{\pi}{8} } _{ 0 } {cos^2(4\psi)} \, d\psi=64\int\limits^{ \frac{\pi}{8} } _{ 0 } {(1+cos(8\psi))} \, d\psi[/latex] [latex]=64\int\limits^{ \frac{\pi}{8} } _{ 0 } {} \, d\psi+8\int\limits^{ \frac{\pi}{8} } _{ 0 } {cos(8\psi)} \, d8\psi=(64\psi+8sin(8\psi))\begin{vmatrix}\beta =\frac{\pi}{8}\\ \alpha =0\end{vmatrix}=[/latex] [latex]64* \frac{\pi}{8}+8sin(8* \frac{\pi}{8} )-64*0+8sin(8*0)=8\pi\approx 25,1[/latex]