ВЫЧИСЛИТЕ ИНТЕГРАЛ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ НЬТОНА-ЛЕЙБНИЦА (выполните подстановку числовых пределов) [latex] \int\limits^3_2 {5xdx/(x-1)( x^{2} +2x+2)} [/latex] Решение подробно

Решим сначала интеграл.  [latex] \int\limits { \frac{5x}{(x-1)(x^2+2x+2)} } \, dx =5 \int\limits {( \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}) } \, dx \,\,\,\boxed{=}[/latex] [latex] \frac{x}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}= \frac{A(x^2+2x+2)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+2x+2)} \\ \\ x=A(x^2+2x+2)+(Bx+C)(x-1) [/latex] [latex]x^1\,\,\,:\,\,\, 1=5A;\\x^0\,\,\,:\,\,\, 0=2A-C\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,C= \frac{2}{5} \\ x^{-1}\,\,\,:\,\,\, -1=A-2(C-B);\Rightarrow\,\,\,\,B=- \frac{1}{5} [/latex] [latex]\boxed{=}\,\,5\cdot ( \int\limits { \frac{ \frac{1}{5} }{x-1} } \, dx + \int\limits { \frac{-\frac{1}{5} x+\frac{2}{5}}{x^2+2x+2} } \, dx)= \int\limits { \frac{1}{x-1} } \, dx -\int\limits { \frac{x-2}{x^2+2x+2} } \, dx=\\ \\ =\ln |x-1|-\int\limits { \frac{x-2}{(x+1)^2+1} } \, dx=\{x+1=u;\,\,dx=du\}=\\ =\ln|x-1|+\int\limits { \frac{u-3}{u^2+1} } \, dx=\ln|x-1|+0.5\ln|u^2+1|-3arctg u+C=\\ =\ln|x-1|- \frac{\ln(x^2+2x+2)-6arctg(x+1)}{2} +C[/latex] Вычисляем определённый интеграл [latex](\ln|x-1|- \frac{\ln(x^2+2x+2)-6arctg(x+1)}{2} )|^3_2= \frac{2\ln 2-\ln17+\ln10+6arctg4-6arctg3}{2} [/latex]