Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=-0.5х^2+3 и двумя касательными к этому графику, проходящими через точки на оси оу и образующими между собой прямой угол.

Найдём касательные к графику функции y=-0,5x²+3. График указанной функции представляет собой параболу ветви которой направлены вниз, вершина находится в точке с координатами (0;3), ось симметрии совпадает с осью ординат. Касательные (из условия) перпендикулярны друг другу и равны, следовательно угол наклона к оси абсцисс одной из них будет 45°, а другой 135°. Угловой коэффициент k прямой равен тангенсу угла наклона, значит у одной касательной он будет k₁=tg45°=1 а у другой  k₂=tg135°=-1 Тогда уравнения касательных примут вид y₁=x+b y₂=-x+b Найдём значение b, для этого приравняем функции y=-0,5x²+3 и y=x+b: -0,5x²+3=x+b -0,5x²+3-x-b=0 -0,5x²-x+(3-b)=0 Уравнение должно иметь один корень, значит дискриминант должен быть равен 0 D=(-1)²-4*(-0,5)*(3-b)=1+2(3-b)=1+6-2b=7-2b=0 -2b=-7 b=3,5 Уравнения касательных будут иметь вид: y=x+3,5 y=-x+3,5 Находим пределы интегрирования. Сначала нижний: -0,5x²+3=x+3,5 -0,5x²-x-0,5=0 D=0 x=1/(-0,5*2)=-1 Теперь верхний: -0,5x²+3=-x+3,5 -0,5x²+x-0,5 D=0 x=-1/(-0,5*2)=1 Найдём площадь фигуры сначала слева от оси ординат, потом справа и сложим их: [latex]S= \int\limits^0_{-1} {((x+ \frac{7}{2})-(- \frac{1}{2}x^2+3))} \, dx +\int\limits^1_0 {((-x+ \frac{7}{2})-(- \frac{1}{2}x^2+3)) } \, dx [/latex] [latex]=\int\limits^0_{-1} {(\frac{1}{2}x^2+x+ \frac{1}{2})} \, dx +\int\limits^1_0 {( \frac{1}{2}x^2-x+ \frac{1}{2}) } \, dx=[/latex] [latex]= (\frac{x^3}{6}+ \frac{x^2}{2}+ \frac{x}{2}|_{-1}^0)+(\frac{x^3}{6}- \frac{x^2}{2}+ \frac{x}{2}|_0^1)=0-( -\frac{1}{6}+ \frac{1}{2} - \frac{1}{2})+ \frac{1}{6} - \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} [/latex] [latex]=\frac{1}{6}- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}+ \frac{1}{6} - \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} = \frac{2}{6}= \frac{1}{3} [/latex] ед².