Вычислить интеграл ((x^4)+x+2)/((x+1)((x^2)+2x-3))

∫ (x⁴+x+2)/[(x+1)(x²+2x-3)] dx Для начала разложим второй множитель знаменателя. x²+2x+1-4 = (x+1)²-4=(x-1)(x+3). Поэтому исходный интеграл будет: ∫ (x⁴+x+2)/[(x+1)(x-1)(x+3)] dx Представим числитель в удобном для деления на (x+1) виде: x³(x+1)-x²(x+1)+x(x+1)+2 = (x+1)(x³-x²+x)+2. Тогда исходный интеграл примет вид: ∫ (x³-x²+x)/[(x-1)(x+3)] + 2/[(x+1)(x-1)(x+3)] dx Смотрим первое слагаемое. Представим его в удобном виде для деления на (x-1): x³-x²+x=x²(x-1)+(x-1)+1=(x-1)(x²+1)+1. Получаем: ∫ (x²+1)/[(x+3)] + 1/[(x-1)(x+3)] + 2/[(x+1)(x-1)(x+3)] dx Снова смотрим первое слагаемое. Делим на (x+3): x²+1=x(x+3)-3(x+3)+10=(x+3)(x-3)+10. Имеем: ∫ (x-3) + 10/(x+3) + 1/[(x-1)(x+3)] + 2/[(x+1)(x-1)(x+3)] dx Разлагаем все это несчастье на простые дроби методом неопределенных коэффициентов. Начнем с последнего слагаемого. 2/[(x+1)(x-1)(x+3)] = A/(x+1) + B/(x-1) + C/(x+3). После решения системы для A,B,C получаем A=-¹⁄₂;B=¹⁄₄;C=¹⁄₄. Отсюда 2/[(x+1)(x-1)(x+3)] = -¹⁄₂(1/(x+1)) + ¹⁄₄(1/(x-1)) + ¹⁄₄(1/(x+3)) Теперь смотрим предпоследнее слагаемое. 1/[(x-1)(x+3)] = A/(x-1) + B/(x+3). После решения системы получим A=¹⁄₄,B=-¹⁄₄. Отсюда 1/[(x-1)(x+3)] = ¹⁄₄(1/(x-1)) - ¹⁄₄(1/(x+3)). Сводя весь этот кошмар воедино, получаем: ∫ (x-3) + 10/(x+3) - ¹⁄₂(1/(x+1)) + ¹⁄₂(1/(x-1)) dx = ¹⁄₂x²-3x+10ln|x+3|-¹⁄₂ln|x+1|+½ln|x-1| + C