Высота правильного четырехугольной пирамиды равно 10 см и образует с боковым ребром угол 45 градусов. Найти объем пирамиды.

Дано : SABCD - прав-я пир-да. H=10 См, α=45. Найти : V Решение : 1. [latex]V= \frac{1}{3} V* S _{ABCD} [/latex] 2. Т.к. нам дана правильная пирамида, то в основании лежит квадрат.  3. Треугольник, образованный высотой пирамиды и половиной диагонали основания является прямоугольным и равнобедренным. Т.е. H=D/2=10. Вся диагональ - 20. Сторона квадрата : a=20/[latex] \sqrt{2} [/latex] = 10[latex] \sqrt{2} [/latex]  4. V = [latex]V= \frac{1}{3} * 10 \sqrt{2} *10 \sqrt{2} * 10 = \frac{2000}{3} [/latex]

Так как эта фигура - правильная четырехугольная пирамида, то в ее основании лежит квадрат. V(пирамиды)=1/3а²h, где а - сторона основания h - высота пирамиды Нам нужно найти для этого а⇒ Так, как основание - квадрат, то мы можем найти его сторону. Мы знаем, что высота с боковым ребром образует 45 градусов, из этого можно сделать вывод, что половина диагонали квадрата (основания) и боковое ребро образуют 45 градусов. Образованный нами треугольник - равнобедренный, поэтому высота равна половине диагонали, то есть диагональ равна 10*2=20см Теперь найдем сторону квадрата из формулы а = √(d²/2), где  а - сторона квадрата d - диагональ квадрата а = √(400/2) = √200 = 10√2 Теперь у нас всё есть, и мы находим V(пирамиды): V=1/3*(10√2)²*10 V=1/3*200*10 V=2000/3 V=666,6 Ответ:666,6 см³