Высоты,  проведенные  к  боковым сторонам  АВ  и  АС  остроугольного  равнобедренного  треугольника  АВС , пересекаются  в  точке  М.  Найдите  углы   треугольника,  если  угол  ВМС  равен  140 

т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны  АВС=АСВ, то не трудно доказать, что и углы МВС=МСВ тоже равны)) МВС=(180-140)/2 = 20  и т.к. это острый угол и в прямоугольном треугольнике (ведь точка М -- точка пересечения высот))), то угол ВСА = 90-20 = 70 = АВС и на угол А остается 180 - 2*70 = 40

Начертите равнобедренный треугольник и проведите высоты к сторонам АВ и АС. Обозначьте их АН и СР. Точку их пересечения обозначьте М. Проведите дополнительно высоту из вершины В и обозначьте её ВЕ.  Угол ВМС=140 градусов ( по условию),тогда угол ЕМС=180-140=40 градусов (т.к. это смежные углы).   В треугольнике МСЕ угол М=40 градусов. Тогда угол МСЕ=90-40=50 градусов. Рассмотрите треугольник АСР. Угол Р прямой, угол С=50 градусов, значит угол А=40 градусов. Можно найти сумму углов АВС и ВСА. 180-40=140 градусов. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 140:2=70 градусов. Ответ: 40; 70; 70 градусов.