Вывести производную косинуса и тангенса.

Покажем, что (cos x)'=-sin x   По определению [latex]y'=lim_{\Delta x->0} \frac {\Delta y}{\Delta x}[/latex]   Приращение функции равно [latex]\Delta y=cos (x+\Delta x)-cos x=-2sin(x+\frac{\Delta x}{2})sin (\frac {\Delta x}{2})[/latex] Ищем отношение [latex]\frac {\Delta y}{\Delta x}=-sin(x+\frac{\Delta x}{2})\frac {sin (\frac {\Delta x}{2})}{\Delta \frac{x}{2}}[/latex] Перейдем в этом равенстве к границе, когда  [latex]\Delta x->0[/latex]. В следствии непрерывности функции sin x [latex]lim_{\Delta x->0} -sin(x+\frac{\Delta x}{2})=- -sin lim_{\Delta x->0}(x+\frac{\Delta x}{2})=-sin x[/latex]   Для второго множителя (используя один из замечательных пределов), обозначив [latex]\Delta \frac {x}{2} =\Delta \alpha[/latex], имеем [latex]lim_{\Delta x->0} \frac {sin (\frac {\Delta x}{2})}{\Delta \frac{x}{2}}= lim_{\alpha->0} \frac {sin \alpha}{\alpha}=1[/latex] Поєтому [latex]lim_{\Delta x->0} \frac {\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x->0} (-sin(x+\frac{\Delta x}{2})\frac {sin (\frac {\Delta x}{2})}{\Delta \frac{x}{2}})=-sin x *1=-sin x[/latex] Т.е. (сos x)'=-sinx   Производная тангенса. Возьмем любую точку х є (a;b), где (a;b) - один из интервалов, на котором определена функция tg x. Ищем приращение [latex]\Delta y=\frac {sin (x+\Delta x)}{cos(x+\Delta x)}-\frac {sin x}{cos x}= =\frac{sin(x+\Delta x)cos x-sinx cos(x+\Delta x)}{cos(x+\Delta x)cos x}= \frac{sin \Delta x}{cos(x+\Delta x)cos x}[/latex] Получаем отношение [latex]\frac {\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac {sin \Delta x}{\Delta x}}{cos(x+\Delta x)cos x}[/latex] переходим к границе, когда [latex]\Delta x->0[/latex]. [latex]lim_{\Delta x->0}\frac {\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x->0}\frac{\frac {sin \Delta x}{\Delta x}}{cos(x+\Delta x)cos x}=\frac {1}{cos^2 x}[/latex] Следовательно производная функции y=tg x существует и равна [latex](tg x)'=\frac {1}{cos^2 x}[/latex]