X в3 степени плюс 64 разложить

x^3+64=(x+4)(x^2-4x+16)

[latex]\displaystyle x^3+64[/latex] — полином третьей степени; тогда по основной теореме алгебры имеется три таких [latex]\displaystyle x[/latex], называемых корнями полинома, что [latex]\displaystyle x^3+64=0[/latex], и тогда этот полином можно записать в форме [latex]\displaystyle (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)[/latex], где [latex]\displaystyle \alpha,\,\beta,\,\gamma[/latex] — корни этого полинома. Остаётся решить уравнение: [latex]\displaystyle x^3+64=0;[/latex] [latex]\displaystyle x^3=-64=64e^{i\pi+\tau ik},\,k\in\mathh{Z};[/latex] [latex]\displaystyle x=\sqrt[3]{64}e^{\frac{i\pi+\tau ik}{3}}=4\left(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)\right)e^{\tau ik/3}=[/latex] [latex]\displaystyle \phantom{x}=\left(2+i2\sqrt{3}\right)e^{\tau ik/3},\,k\in\left\{0,1,2\right\};[/latex] [latex]\displaystyle \alpha=2+i2\sqrt{3};[/latex] [latex]\displaystyle \beta=\left(2+i2\sqrt{3}\right)\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+i\sqrt{3}-i\sqrt{3}+i^2\sqrt{3}^2=-1-3=-4;[/latex] [latex]\displaystyle \gamma=\left(2+i2\sqrt{3}\right)\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1-i\sqrt{3}-i\sqrt{3}-i^2\sqrt{3}^2=-1+3-i2\sqrt{3}=[/latex] [latex]\displaystyle =2-i2\sqrt{3}.[/latex] Тогда: [latex]\displaystyle\therefore x^3+64=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=\boxed{\left(x-2-2\sqrt{3}i\right)\left(x+4\right)\left(x-2+2\sqrt{3}i\right)}\phantom{.}.[/latex]