Дипломная работа: Алгоритмы с многочленами

Последнее равенство показывает, что служит делителем для . Отсюда следует, что оба слагаемых правой части предпоследнего равенства делятся на , а поэтому будет делителем и для . Далее, таким же путем, поднимаясь вверх, мы получим, что является делителем и для , …, , . Отсюда ввиду второго равенства, будет следовать, что служит делителем для , а поэтому, на основании первого равенства, - и для .

Возьмем теперь произвольный общий делитель многочленов и . Так как левая часть и первое слагаемое правой части первого из равенств делятся на , то также будет делится на . Переходя ко второму и следующему равенствам, таким же способом получим, что на делятся многочлены , , … Наконец, если уже будет доказано, что и делятся на , то из предпоследнего равенства получим, что делится на . Таким образом, на самом деле будет наибольшим общим делителем для и .

Мы доказали, что любые два многочлена обладают наибольшим общим делителем, и получили способ его вычисления. Этот способ показывает, что если многочлены и имеют оба рациональные или действительные коэффициенты, то и коэффициенты их наибольшего общего делителя также будут рациональными или, соответственно, действительными, хотя у этих многочленов могут существовать и такие делители, не все коэффициенты которых рациональны (действительны).

Если есть наибольший общий делитель многочленов и , то, как показывают свойства 8. и 9., в качестве наибольшего общего делителя этих многочленов можно было бы выбрать также многочлен , где - произвольное число, отличное от нуля. Иными словами, их наибольший общий делитель двух многочленов определен лишь с точностью до множителя нулевой степени . Ввиду этого можно условиться, что старший коэффициент наибольшего общего делителя двух многочленов будет всегда считаться равным единице. Используя это условие можно сказать, что два многочлена тогда и только тогда взаимно просты, если их наибольший общий делитель равен единице . В самом деле, в качестве наибольшего общего делителя двух взаимно простых многочленов можно взять любое число, отличное от нуля, но, умножая его на обратный элемент, получим единицу.

Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами, можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или сократить делитель на любое не равное нулю число, причем не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевой степени, что при разыскании наибольшего общего делителя допускается.

Пример. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

1. и

Совершим требуемые деления с остатком:

|

|

|