Дипломная работа: Дроби
Так, например, изучив в курсе математики 5 – 6 классов понятие о равенстве величин углов, следует обратить внимание учащихся на то, что величины углов равны, если:
а) углы симметричны относительно прямой;
б) углы получаются один из другого параллельным переносом на данный отрезок;
в) данные углы являются углами при основании равнобедренного треугольника или углами равностороннего треугольника;
г) углы получаются один из другого поворотом вокруг данной точки на данный угол и т.д.
Эту работу следует проводить планомерно в течение всего года (а может быть, и нескольких лет) обучения; список таких ситуаций, связанных с основными понятиями, может и должен быть продолжен.
При овладении понятиями у учащихся нередко возникают различные затруднения и ошибки.
Начнем с рассмотрения ошибок, которые могут появиться при определении понятий, и укажем некоторые причины их возникновения.
Прежде всего, следует четко показать учащимся различие, связанное с использованием тех или иных понятий в определении некоторого нового понятия. Понятие, соответствующее определяемому объекту, называется определяемым; понятие, с помощью которого раскрывается содержание определяемого объекта, называется определяющим. Так, например, в определении «Множество, состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком», понятие «отрезок» - определяемое понятие, а понятие «множество точек» - одно из определяющих понятий.
Если это различие не осознается учащимися, то определение понятий часто дается ими стилистически неправильно.
Основные ошибки учащихся при формулировке определений вызваны несоблюдением установившихся в логике «правил определения», при выполнении которых это различие также играет большую роль. Перечислим важнейшие из этих «правил».
1) Всякое определение должно быть соразмерным, т.е. объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего понятия.
Например, определение «Ромб есть параллелограмм, у которого две смежные стороны равны между собой» соразмерно, так как объем понятия «ромб» равен объему понятия «параллелограмм с двумя равными смежными сторонами» (множества, определяющие объемы этих понятий, совпадают).
Нарушение этого правила ведет к ошибкам двоякого рода:
а) Объем определяющего понятия шире объема определяемого понятия. В этом случае определяемое понятие относится к определяющему, как вид к роду. Например: «Диаметр окружности есть отрезок прямой, соединяющей две точки окружности». Здесь по существу определена хорда - более широкое понятие, чем диаметр (в объем определяющего понятия входят все хорды окружности).
Эта ошибка в определении данного понятия возникает потому, что признак видового отличия («соединять две точки окружности») принадлежит не только диаметрам, но и всем хордам вообще, а поэтому при помощи него нельзя отличить диаметры от других отрезков прямых, соединяющих точки окружности.
Такое определение в логике называется слишком широким.
Чтобы ученики поняли эту ошибку, желательно рассмотреть с ними динамичный рисунок или диафильм «Окружность и круг»
б) Объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия. Последнее относится к первому как род к виду.
В качестве примера рассмотрим следующее определение: «Ромбом называется прямоугольнике двумя конгруэнтными смежными сторонами». Здесь по существу определен квадрат (более узкое понятие, чем ромб). Эта ошибка в определении данного понятия возникает потому, что указанный видовой признак (прямоугольник - параллелограмме двумя конгруэнтными смежными сторонами) принадлежит лишь подмножеству множества ромбов, квадратам, т.е. является отличительным лишь для части множества ромбов. Такое определение в логике называется слишком узким.
2) Определение не должно заключать в себе «порочного круга», т.е. нельзя строить определение так, чтобы определяемое понятие определялось (скрытым или явным образом) посредством того же самого определяемого понятия.
Нарушение этого правила также ведет к ошибкам двоякого рода:
а) Определяемое понятие характеризуется таким определяющим понятием, содержание которого становится ясным лишь при помощи самого определяемого понятия.
Так, например, определения «сложение есть действие нахождения суммы» и «суммой называется результат сложения» содержат в себе такой «порочный круг». Определяющее понятие суммы в этом случае не может быть определено независимо от определяемого понятия - понятия сложения.
б) Определяемое и определяющее понятия по содержанию тождественны, хотя могут быть выражены в различных словах.
Такое определение носит название тавтологии.
Например, «прямой угол - это угол в 90°», или «Прямым углом называется угол, стороны которого перпендикулярны».
Итак, в этих ошибочных определениях сущность определяемого объекта не раскрывается; в определяющем понятии повторяется то, что уже известно об определяемом понятии.
3) Определение по возможности не должно быть отрицательным. Это означает, что следует избегать таких определений, которых видовое отличие выступает в качестве отрицательного понятия.