Дипломная работа: Дроби

Однако в процессе обучения математике такие определения нежелательны, поскольку они почти не раскрывают содержания понятия, его существенных свойств, а указывают лишь на те свойства, которые не должны иметь определяемые понятия.

Если при введении нового понятия ограничиться только формулировкой его определения и иллюстрацией этого понятия только одним примером, взятым из учебника, не показывая его наглядные модели, то учащиеся нередко усваивают такие понятия неправильно. У учащихся это чаще всего проявляется в попытке незаконных обобщений понятия (обобщений по несущественным признакам) и смешении существенных признаков с несущественными. Типичной ошибкой такого рода является, например, неузнавание учащимися знакомой геометрической фигуры, если та имеет непривычную форму или положение на плоскости.

В частности, учащиеся не «узнают» равнобедренный треугольник, данный в положении, указанном на рисунке 6, а испытывают большие затруднения в установлении пар подобных треугольников в ситуации, изображенной на рисунке 6, б и т.п.

Большое значение для сознательного усвоения учащимися важнейших математических понятий имеет система целенаправленных устных вопросов и упражнений, например, таких:

1. Найдите ошибку в следующих определениях (уточните каждое из этих определений):

а) равносильными уравнениями называются такие два уравнения, когда корни первого уравнения являются корнями второго;

б) прямая, делящая сторону треугольника пополам, называется медианой;

в) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и равный половине третьей стороны, называется средней линией треугольника.

2. Приведите примеры, указывающие на недостаточность следующих определений:

а) касательной к кривой называется прямая, имеющая с кривой только одну общую точку (см. рис.7);

Рис.7

б) если расстояние от любой точки одной линии L1 до другой L2 всюду одинаково, то такие линии называются параллельными (см. рис.8) и т.д.

Итак, в процессе введения и изучения в школе математических понятий полезно:

1) не вводить новых понятий формально; детально конкретизировать новые абстрактные понятия; по возможности применять конкретно-индуктивный метод;

2) вводить понятия наиболее естественным для учащихся путем; по возможности, следует чаще привлекать учащихся к самостоятельному изучению и определению рассматриваемого понятия;

3) мотивировать вводимые понятия, термины, определения; не допускать у учащихся представления о произвольности введения новых понятий;

4) в процессе изучения новых понятий полезно выявить связи нового понятия с уже известными понятиями; указывать на аналогию в характеристике новых понятий и понятий известных;

5) на каждом уроке полезно повторять определения известных учащимся важнейших математических понятий, связанных с понятиями, рассматриваемыми на данном уроке, требуя в то же время не столько запоминания определений понятий наизусть, сколько правильной передачи сущности определения данного понятия;

6) при овладении учащимися теми или иными математическими понятиями строго следить за речью учащихся, требовать четкости, краткости и строгости в формулировках определений. Следует иметь в виду, что «профилактика» ошибок эффективнее их исправления. Заниматься такой профилактикой учителю нужно постоянно.

1.3. Понятие дроби

Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, е, и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом. Однако, если отрезок е разбить на 4 части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е. И тогда, говоря о дине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде Е, где Е – длина единичного отрезка е, а символ называют дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так. Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из m отрезков, равных n-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде , где символ называют дробью.

К записи дроби числа m и n – натуральные, m – называется числителем, n – знаменателем дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Вернемся к рис., где показано, что четвертая часть отрезка е уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е, которая укладывается в отрезке х целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 28 таких частей и длина его будет выражаться дро