Дипломная работа: Элементы статистики комбинаторики и теории вероятностей в основной школе

Для проведения экспериментов пока возможно использование подручных средств: кубики, пуговицы, кнопки, самодельные вертушки и т.п. С введением стохастической линии в основной курс средней школы, со временем должны появиться и минимальные наборы математического демонстрационного учебного оборудования». [31]

Проводя эксперименты, учащиеся могут заметить, что те или иные события происходят чаще или реже, относительно других. Таким образом, можно перейти к понятию частоты, а затем и к статистическому определению вероятности.

При классическом подходе определение понятия вероятности для некоторых событий сводится к более простому понятию – равновозможности элементарных событий. А это понятие основано на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равновозможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть и речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра.

Из этого вытекает ограничение применения классической вероятности. Классическое определение вероятности «работает» лишь тогда, когда имеется конечное число равновозможных исходов. На практике мы часто встречаемся с ситуациями, где нет симметрии, предопределяющей равновозможность исходов. В таких случаях приходится определять вероятность частотным путем (статистическая вероятность) [34].

По обучению комбинаторике, тоже нет единого мнения.

В статье Ткачевой М.В. [35] содержатся следующие замечания по обучению комбинаторике.

«На первом этапе при изучении комбинаторики следует выработать у учащихся умение составлять комбинаторные наборы и начать с самого простого – составление комбинаторных наборов методом непосредственного перебора. В возрасте 11-12 лет дети способны решать простейшие комбинаторные задачи на целенаправленный перебор небольшого числа элементов определенного множества и составлять всевозможные комбинации (с повторениями и без повторений) из 2-3 элементов. Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий и хорошей подготовкой к выводу комбинаторных формул и закономерностей.

После того как учащиеся научаться составлять наборы из элементов заданного множества по заданному свойству, на первый план выходит задача по подсчету количества возможных наборов. Такие комбинаторные задачи решаются с помощью рассуждений, раскрывая принцип умножения. Но акцент нужно сделать не на формальном его применении, а на содержательных рассуждениях и понимании сути поставленного в задаче вопроса. Принцип умножения в дальнейшем используется для выведения формул.

Часто подсчет вариантов облегчают графы. Одним из видов графов является дерево возможных вариантов, которое является хорошей наглядной иллюстрацией правила умножения.

Таким образом, построение дерева возможных вариантов является одним из способов решения комбинаторных задач. Такая наглядность помогает лучше понять принципы составления наборов (помогает составлять и упорядочивать наборы). Но такую наглядность возможно использовать в задачах с небольшим количеством возможных вариантов, либо в задачах, для которых дерево возможных вариантов является правильным.

Методом перебора, принципа умножения и построение дерева возможных вариантов – это все методы, которые позволяют решать комбинаторные задачи без использования формул. Отсутствие формул при решении комбинаторных задач позволяет учащимся лучше понять суть решения, лучше освоить способы составления и подсчета возможных наборов. Уже после этого можно вывести или ввести некоторые формулы, которые учащийся должен применять осознанно и понимать принцип их действия». [35]

Спорным остается вопрос и о введении основных комбинаторных понятий: сочетания, перестановки и размещения. Все ли вводить, нужно ли вводить их определения, или достаточно описания.

На данный момент можно говорить о наличии некоторого опыта по рассматриваемой теме. Так как этим вопросом занимаются уже давно, то естественно, что были предприняты некоторые попытки введения этого материала или хотя бы его элементов. Некоторые статьи содержат информацию о различных опытах и экспериментах по данным вопросам.

В статье Бунимовича Е.А. [2] рассказывается об экспериментах проведенных автором на базе московской гимназии №710, ярославской гимназии №20 и калужской гимназии №2. В них исследовались вероятностные представления школьников старших профильных классов, которые еще не изучали вероятностный раздел. Результаты исследования показали, что даже хорошее знание и понимание других разделов математики само по себе не обеспечивает развития вероятностного мышления. Также опыт показал , что в возрасте начальных классов еще многое в представлениях ученика о мире недостаточно сформировано, не хватает и математического аппарата для объяснения представлений о вероятности. В то же время основы описательной статистики, таблицы и столбчатые диаграммы, а также основы комбинаторики возможно и даже необходимо вводить в курс начальной школы. А начинать изложение основ теории вероятности в старших классах – малоэффективно. [2]

Ткачевой М.В., Васильковой Е.Н. и Чуваевой Т.В. был проведен эксперимент о готовности учащихся к изучению стохастики, результаты представлены в их статье, [37] На основе проведенных экспериментов были сделаны следующие выводы. в 5 классе у детей достаточно высокий уровень комбинаторного мышления, а затем если в течение 6-7 классов его не развивать, то навыки решения комбинаторных задач существенно снижаются. Большинство учащихся 5-6 классов готовы к восприятию понятия вероятность в классическом и геометрическом истолковании. Желательно обучать детей 5-6 классов самостоятельному целенаправленному сбору информации о явлениях окружающей их жизни, подсчету данных в небольших выборках.

3. Анализ вероятностно-статистической линии в учебной литературе.

При введении любой новой темы, любого нового вопроса в основной курс школы встает проблема изложения данного вопроса в школьных учебниках.

К реализации нового содержания в действующих учебниках авторы подошли по-разному. В одних учебниках элементы стохастики включены в основное содержание отдельными параграфами. Авторы же других учебников издают новое содержание в форме вкладышей – дополнительных глав к своим пособиям.

Попытка построения вероятностно-статистической линии в базовом курсе математики основной школы предпринята в учебниках

Под редакцией Г.В Дорофеева и И.Ф Шарыгина [18,19,20,21,22]

«Математика5», «Математика6», «Математика7», «Математика8» и «Математика 9».

5 класс начинается с комбинаторики, где на конкретных задачах и примерах рассматривается решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Примеры и задачи очень простые, позволяющие на этапе знакомства с комбинаторными задачами, усвоить принцип простого, упорядоченного перебора возможных вариантов.

В пункте «Случайные события» рассматривается понятие случайное событие, достоверные, невозможные и равновероятные события. Тут же приводятся реальные, понятные примеры, позволяющие учащимся лучше усвоить эти понятия.

В последней главе учебника рассматриваются таблицы и диаграммы (как способ представления информации). Учащихся учат пользоваться таблицей, извлекать из нее и анализировать необходимую информацию, также учат самих строить таблицы. В пятом классе рассматриваются столбчатые диаграммы, в одной из задач рассмотрена круговая диаграмма. Также рассматривается пункт «Опрос общественного мнения», где составление таблиц по данным опроса позволяет решить те или иные классные вопросы, возникающие в реальной жизни

6 класс начинаем с повторения таблиц и диаграмм. Повторяют уже изученные столбчатые диаграммы и более подробно рассматривают круговые (для представления соотношения между частями целого).

Далее идут 2 параграфа по комбинаторике: логика перебора и правило умножения. Здесь рассматриваются задачи, которые решаются уже известным им способом перебора и предлагается упростить его, используя, так называемое кодирование. Также рассматривается новый способ решения комбинаторных задач с помощью правила умножения.

Завершается учебник главой - «вероятность случайных событий». Учащимся предлагается провести ряд экспериментов, зафиксировав результаты в таблицах. После чего, используя полученные результаты, вводится понятие частота и вероятность случайных событий

7 класс начинается с рассмотрения основных статистических характеристик: среднее арифметическое, мода, размах, опять же с множеством примеров из жизни. В одном из параграфов снова обращаемся к решению комбинаторных задач, которые решаются с помощью рассуждений. Рассматриваются перестановки. И заключительная глава продолжает рассматривать вероятность и частоту случайных событий.

В 8 классе сначала повторяются статистические характеристики, изученные в 7 классе, и вводится новая характеристика – медиана. Рассматриваются таблицы частот. Приводятся примеры, показывающие связь с практикой, описываются различные жизненные ситуации. В 8 классе вводится классическое определение вероятности, данное Лапласом.

Рассматриваются геометрические вероятности.