Дипломная работа: Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп

4) кожний елемент володіє зворотним, тобто для кожного існує такий елемент , що .

Більш коротко: напівгрупа з одиницею, у якій кожний елемент володіє зворотним, називається групою.

Групу з комутативною операцією називають комутативною або абелевої. Якщо - кінцева множина, що є групою, то називають кінцевою групою, а число елементів в - порядком групи .

Підмножина групи називається підгрупою, якщо - група щодо тієї ж операції, що визначена на . Запис означає, що - підгрупа групи , а - що - власна підгрупа групи , тобто й .

Теорема 1 Непуста підмножина групи буде підгрупою тоді й тільки тоді, коли й для всіх .

Нехай - непуста підмножина групи . Сукупність всіх елементів групи , з кожним елементом множини , називається централізатором множини в групі й позначається через .

Лема 2 1. Якщо - підмножина групи , то централізатор є підгрупою.

2. Якщо й - підмножина групи й , то .

3. Якщо - підмножина групи й , то .

Центром групи називається сукупність всіх елементів з , з кожним елементом групи. Центр позначається через . Ясно, що , тобто центр групи збігається із централізатором підмножини в групі . Крім того, .

Зафіксуємо в групі елемент . Перетинання всіх підгруп групи , що містять елемент , назвемо циклічною підгрупою, породженої елементом , і позначимо через .

Теорема 3 Циклічна підгрупа , породжена елементом , складається із усіляких цілих ступенів елемента , тобто .

Наслідок 4 Циклічна підгрупа абелева.

Нехай - елемент групи . Якщо всі ступені елемента різні, тобто для всіх цілих , то говорять, що елемента має нескінченний порядок.

Якщо - непуста підмножина групи й те й . Елемент називається перестановочним з підмножиною , якщо . Рівність означає, що для будь-якого елемента існує такий елемент , що . Якщо елемент перестановочний з підмножиною , то й . Сукупність всіх елементів групи , перестановочних з підмножиною , називається нормалізатором підмножини в групі й позначається через . Отже,

5. Нехай - непуста підмножина групи , - довільний елемент групи . Тоді:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) якщо - підгрупа групи , те .

Підгрупа називається нормальною підгрупою групи , якщо для всіх . Запис читається: " - нормальна підгрупа групи ". Рівність означає, що для будь-якого елемента існує елемент такий, що .

Теорема. 6 Для підгрупи групи наступні твердження еквівалентні:

1) - нормальна підгрупа;

2) підгрупа разом з кожним своїм елементом містить всі йому сполучені елементи, тобто для всіх ;

3) підгрупа збігається з кожною своєю сполученою підгрупою, тобто для всіх .

Нехай - підгрупа групи . Тоді:

1) ;